ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Segment circulaire      niveau 3ème/1ère          secteur circulaire et son aire

Un segment circulaire (comme en jaune ci-dessous) est une partie d'un disque obtenu par le tracé d'une corde [AB] de ce disque :

Comme pour un secteur circulaire (à droite), on définit en fait ainsi deux segments circulaires suivant que l'on considère l'angle ^AOB saillant (de mesure inférieure à 180°) ou rentrant (de mesure supérieure à 180°).

Le segment [AB] est la base b du segment circulaire, notée b ci-après, â est son ouverture, et le segment [HK], porté par (OK) perpendiculairement à (AB), est sa hauteur h.

  Bien que le vocabulaire utilisé soit équivoque (prêtant à confusion), on ne confondra pas un segment circulaire (portion de disque) et un segment de cercle (portion de cercle)...

Au niveau 3ème à 1ère :    

1°) En procédant par soustraction, montrer que l'aire A du segment circulaire d'ouverture â (exprimée en degrés) est :

A = πR2â/360 - ½ABOH = πR2â/360 - ½b(R - h)

Classe de 1ère : si l'angle â est exprimé en radians, la formule devient : ½âR2 - ½b(R - h)

2°) On suppose ne pas connaître le rayon R ni l'angle d'ouverture â. Calculer R en fonction de b et h. Application : calculer R lorsque b = 10 cm et h = 4 cm.

niveau 1ère  3°) On suppose connaître la longueur L de l'arc AB du segment circulaire ainsi que le rayon R. Montrer que son aire peut s'écrire :

A = ½R[L - Rsin(L/R)]

Calculer l'aire d'un segment circulaire de rayon R = 5,125 cm et dont la longueur d'arc AB est 14 cm.

Au niveau 1ère :  

4°) Appliquer la trigonométrie afin d'exprimer OH et AH en fonction de â/2. En déduire que l'aire du segment circulaire de rayon R, d'ouverture â exprimée en radians, est donnée par la formule :

A  = ½R2(â - sin â)

Avec les données numériques précédentes, calculer l'angle â en radians et vérifier cette formule.

Vu la symétrie de la figure par rapport à (OK), si on note 2α la mesure en radians de â, on obtient, compte tenu de la formule sin2α = 2sinα.cosα la formule équivalente :

A  = R2(α - sin α.cosα)

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Solution :

Au niveau 3ème à 1ère :    

1°) OAB étant isocèle et (OK) perpendiculaire à (AB), H est le milieu de [AB]. L'aire A du secteur angulaire privée de celle du triangle OAB fournit l'aire du segment angulaire étudié, soit :

A  = pi;R2â/360 - ½b(R - h)

2°) On a AH = b/2 et OH = R - h. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OHA, rectangle en H : b2/4 + (R - h)2 = R2. On développe (R - h)2 = R2 - 2Rh + h2. D'où 2Rh = b2/4 + h2. On en déduit :

R = ½(b2/4 + h2)/h

Si b = 10 cm et h = 4 cm : R = 41/8 = 5,125 cm.

3°) L'angle d'ouverture étant exprimé en radians, la longueur de l'arc AB est L = 2πRâ/2π, donc â = L/R. Dans le triangle rectangle OHA, on a AH = R sin(â/2) = R sin(½L/R) et OH = R cos(½L/R).

On remplace dans la formule établie en 1° : A = ½âR2 - AH x OH = ½LR - R2sin(½L/R)cos(½L/R). Vu la formule sin â = 2sin(â/2)cos(â/2), on a : A = ½LR - ½R2sin(L/R) ou encore :

A = ½R[L - Rsin(L/R)]

Si la longueur de l'arc AB est 14 cm, cette formule fournit l'aire :

A = ½5,125[14 - 5,125sin(14/15,125)] 33,249 cm2

Au niveau 1ère :    

4°) Dans le triangle rectangle OHA, on a OH = R cos(â/2) et AH = R sin(â/2). Vu que sin â = 2sin(â/2)cos(â/2), on a :

A = ½âR2 - ½R2sin â = ½R2(â - sin â)

L'angle â étant exprimé en radians, on a L = 2πRâ/2π = Râ. Par conséquent : â = 14/5,125. On stocke cette valeur dans la mémoire de la calculatrice et la formule ci-dessus fournit alors :

A = ½R2(â - sin â) 35,249 cm2


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