ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

STIRLING James, écossais, 1692-1770

Après des études inachevées au Balliol College d'Oxford et  suite à la publication d'un traité (1717) sur les cubiques (courbes algébriques du 3è degré, Lineae tertii ordinis Neutonianae) où il complète des résultats de Newton, James Stirling est remarqué et recommandé par ce dernier  et part enseigner les mathématiques à Venise dès cette même année. à Padoue (Padova), il rencontre Nicolas Bernoulli 1er avec qui il se lie d'amitié et s'intéresse aux problèmes différentiels issus de la physique. Il publiera divers mémoires sur la gravitation, la mécanique, l'hydraulique.

Stirling résout en particulier le problème de la recherche des trajectoires orthogonales d'une famille de courbes, un chalenge proposé par Jean Bernoulli 1er et Leibniz en 1715, espérant tous deux prouver l'efficacité de leur vision du calcul différentiel opposée à celle de Newton !

De retour à Londres en 1725, il rencontre Abraham de Moivre qui deviendra son ami et, toujours soutenu par Newton, il fut élu à la Royal Society (1726). En 1730, il se fait connaître par ses résultats sur les séries et son approximation de n! (factorielle n) remarquée par Euler.

Nommé à la direction des mines d'Ecosse (1735), il côtoie Maclaurin à Edimbourg. A la mort de ce dernier (1746), sa succession à son poste lui échappe du fait de ses engagements politiques jacobites (c.-à-d. en faveur du petit-fils de Jacques II, exilé et mort en France à la suite de son évincement par Guillaume III d'Orange).

L'étude des coniques et des cubiques :

Dans son traité Lineae tertii ordinis Neutonianae de 1717, il complète des résultats de Newton sur la classification des courbes algébriques de degré 3, leurs déterminations, leurs asymptotes. Il confirme 72 genres trouvés par Newton et en trouve deux autres. Du Gua trouva les quatre derniers genres.

Les coniques sont aussi étudiées en tant que courbes algébriques du second degré sous la forme usuelle qu'adopta d'Alembert, à savoir y2 + axy + by + cx2 + dx + e = 0 , et qu'il ramène comme ce dernier à la forme réduite Y2 = aX2 + bX + C.

Les coniques :               Apollonius de Perge , Wallis

Travaux sur les suites et séries numériques, la célèbre formule de Stirling pour n! :

La notation n! pour factorielle n, initiée par Kramp, désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls : n! = 1 x 2 x ...  x n. De Moivre avait affirmé, dans la première édition de son traité Doctrine of Chances (1718), que pour n infini, le rapport :

 

tendait vers une limite finie non nulle sans cependant en préciser la valeur exacte. Reprenant les travaux de son ami, Stirling, dans un traité publié à Rome en 1730, Methodus differentialis, seu tractacus de summatione et interpolatione seriarum développe en série ln Γ(x), où Γ est la célèbre fonction d'Euler, ce qui le conduit à compléter la formule d'approximation de factorielle n pour n grand :

en précisant la nature de r(n), infiniment petit s'exprimant sous la forme d'une série convergente de somme nulle :

Stirling établit ainsi que (mais Wallis l'avait découvert avant lui). C'est dire que l'on a pour n "grand" :

On a plus précisément encore :

 Établir la formule de Stirling est relativement simple au moyen des intégrales de Wallis. Son calcul en fut d'ailleurs donné, en tant qu'exercice, dans un manuel de mathématiques : classe Terminale C & E, p.158, collection Terracher, Ed. Hachette, 1992.

        Kramp, Arbogast

Cette formule de Stirling est très étonnante a priori : le nombre π, transcendant (Lindemann, 1882) et d'essence a priori purement géométrique, rejoint le nombre e, également transcendant (Hermite, 1873) pour évaluer une (très bonne) approximation d'un entier naturel.

Calcul multiprécision de n! (et de π) :           Correction de la formule :            Lois binomiale et normale :


Goldbach  Bernoulli Nicolas II
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