ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Triangle arithmétique également appelé triangle de Pascal

La notation Cnp désigne le nombre de parties de cardinal p dans un ensemble de cardinal n. Autrement dit, Cnp est le nombre façons de choisir p éléments parmi n éléments distincts (0 p n), aucun ordre n'intervenant dans ce choix. Noter que choisir p éléments, c'est choisir de ne pas choisir les n - p restants... : Cnp = Cnn-p. On a la formule :

On peut aisément calculer les combinaisons Cnp en vertu de la formule de récurrence :

Le schéma ci-dessous justifie la formule de récurrence énoncée :

Programmation sur Tableur :

L'ordinateur, et plus précisément le tableur, est très à l'aise pour traiter ce petit problème d'arithmétique. Le mode L1C1 d'EXCEL est ici utilisé : la colonne1 porte les valeurs de n et la ligne 1 les valeurs de p.

En L2C2, on a inscrit la formule (magique) de récurrence :

         =SI(L1=0;1;SI(COLONNE()>LIGNE();"";SI(COLONNE()=LIGNE();1;L(-1)C(-1)+L(-1)C)))

qui est recopiée vers le bas puis, en bloc, vers la droite.

Résultat d'exécution :         

n\p

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

6

1

6

15

20

15

6

1

7

1

7

21

35

35

21

7

1

8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

9

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

10

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

11

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

12

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

13

1

13

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

78

13

1

14

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

364

91

14

1

Par exemple, C94= 126 : il y a 126 choix de 4 objets parmi 9.

 Exercices

           

Loi hypergéométrique :

x7 + 7x6 + 21x5 + 35x4 + 35x3 + 21x2 + 7x + 1


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