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» Les exercices numérotés ci-dessous sont indépendants. Certains d'entre eux sont empruntés à Jacques Rivaud dans son livre Exercices d'Algèbre, Ed. Vuibert, 1961.
1 - Montrer que tout nombre complexe de module 1 peut s'écrire sous la forme :
où x est un nombre réel qu'il convient de déterminer.
2 - Prouver que (1 + i√3)n - (1 - i√3)n = 0 est nul si et seulement si l'entier naturel n est multiple de 3.
3 - On note z = x + iy l'affixe d'un point m(x,y) du plan rapporté à un repère orthonormé. On associe à m le point M d'affixe
Z = (z + 1 + i)(z - i)
a) Montrer que Z est imaginaire pur si et
seulement si m décrit une hyperbole (H) dont on précisera une équation, le
centre et les asymptotes.
b) Quels sont les points m du plan tels que Z
soit réel ?
Soit (C) leur courbe; exprimer y en fonction de x.
c) Que peut-on dire de (H)
∩ (C) relativement
à Z ? En déduire les coordonnées des points d'intersection de (H) et (C) sans résoudre le système
défini par les équations de (H) et de (C).
4- Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, soit M d'affixe z = x + iy, M' son image par la rotation de centre O, d'angle +π/2 et A d'affixe i. Trouver une condition nécessaire et suffisante en x et y pour que M, A et M' soient alignés.
5- On note a, b, c les affixes des sommets A, B, C d'un triangle. A quelle condition sur a, b et c, ABC est-il équilatéral ?
6- On considère
l'équation polynomiale (E) : (z + i)n = (z - i)n, z
complexe.
a) Quel est le degré de cette équation ?
b) Vérifier que le nombre réel z = cotan(π/3) = 1/√3
est solution de l'équation lorsque n = 3.
Vérifier qu'il en est de même
de z = cotan(2π/3).
c) En se ramenant aux racines n-ièmes de l'unité,
montrer que les solutions de (E) sont réelles et égales à cotan(kπ/n), k = 1, ..., n - 1.
Solution : |
1- La forme donnée est manifestement de module 1. Soit z = cosθ + isinθ le complexe de module 1 qui doit lui être égal. Un petit calcul élémentaire conduit à x = tanθ/2.
2- Les nombres (1 + i√3)n et (1 - i√3)n sont de module 2 et conjugués, d'arguments respectifs π/3 et -π/3. On peut alors écrire :
(1 + i√3)n - (1 - i√3)n = 2n[e+inπ/3 - e-inπ/3] = 2ni.sin(nπ/3)
sin(nπ/3) s'annule pour nπ/3 multiple de π : nπ/3 = kπ, soit n = 3k, k entier.
3- a) On sépare tout d'abord les partie réelle et imaginaire de Z = (z + 1 + i)(z - i) = z2 + z - i + 1 en posant z = x + iy :
Z = x2 - y2 + x + 1+ i(2xy + y - 1)
Z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, c'est à dire si et seulement si x2 - y2 + x + 1 = 0. Cette équation peut se mettre sous la forme y2 - (x + ½)2 = 3/4 ou encore y2/(√3/2)2 - (x + ½)2/(√3/2)2 = 1. Il s'agit donc d'une hyperbole équilatère (H) de centre ω(-½,0), d'asymptotes y = ± (x + ½).
b) Z est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, c'est à dire si et seulement si 2xy + y - 1 = 0. Cette équation peut se mettre sous la forme y = 1/(2x + 1). Il s'agit encore d'une hyperbole équilatère (C) : homographie.
c) Si M(x,y) est un point de (H) ∩ (C), alors z = x + iy rend Z à la fois réel et imaginaire pur : c'est dire que Z est nul, donc que z + 1 + i = 0 ou z - i = 0. Ce qui conduit à M(-1;-1) et M(0;1).
4- L'affixe de M' est z' = iz = -y + ix (» isométries du plan complexe); on a donc M(-y,x) et A(0,1). M, A et M' alignés si et seulement si det(AM, AM') = 0. L'ensemble cherché est donc le cercle d'équation x2 + y2 - x - y = 0, centré en (½,½) de rayon 1/√2 (contenant A et O).
La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
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Java
(»
extension CheerpJ) :
5- ABC équilatéral ⇔ C est l'image de A dans la rotation de centre B d'angle ± π/3. En termes de nombres complexes, on peut donc écrire : ABC équilatéral ⇔ c - b = e±iπ/3(a - b) ⇔ (c - b)/(a - b) = e±iπ/3.
Les nombres e+iπ/3 et e-iπ/3 sont conjugués. Posons alors z = eiπ/3. On a z + z = 2cos(π/3) = 1 et z × z = | z |2 = 1. Par suite :
(c - b)/(a - b) = e±iπ/3 ⇔
Ce qui conduit, en développant à :
6-
a) L'équation peut s'écrire (z + i)n - (z - i)n = 0.
En développant (z + i)n et (z - i)n, par la
formule du binôme, zn s'élimine mais non pas les termes de de degré n
- 1, à savoir respectivement inzn-1 et -inzn-1 qui vont au
contraire s'ajouter. L'équation est donc de degré n - 1.
b) Trop facile...
c) i n'étant pas solution, on peut se ramener à [(z + i)/(z - i)]n =
1 et poser
X = (z + i)/(z - i), ce qui nous ramène aux
racines n-èmes de l'unité : à savoir e2ikπ/n, k =
0, 1, 2, ..., n-1. Le cas k = 0 doit être exclu car 1 n'est pas solution de
l'équation.
X = (z + i)/(z - i), conduit à z = i(X + 1)/(X - 1) = i(e2ikπ/n
+ 1)/(e2ikπ/n - 1). On sait ou on montrera (»
ici) que (eiα
+ 1)/(eiα - 1) = -i.cotan(α/2). Donc z =
cotan(kπ/n), k = 1, 2, ..., n-1 : nous avons n - 1 solutions (conforme au
théorème de d'Alembert) et ces solutions sont réelles.