ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres complexes : exercices divers #1         niveau Ter/Sup        »  Argand | De Moivre | Gauss | Théorème de Van Aubel

 » Les exercices numérotés ci-dessous sont indépendants. Certains d'entre eux sont empruntés à Jacques Rivaud dans son livre Exercices d'Algèbre, Ed. Vuibert, 1961.

1 - Montrer que tout nombre complexe de module 1 peut s'écrire sous la forme :

où x est un nombre réel qu'il convient de déterminer.

2 - Prouver que (1 + i√3)ⁿ - (1 - i√3)ⁿ = 0 est nul si et seulement si l'entier naturel n est multiple de 3.

3 - On note z = x + iy l'affixe d'un point m(x,y) du plan rapporté à un repère orthonormé. On associe à m le point M d'affixe

Z = (z + 1 + i)(z - i)

a)  Montrer que Z est imaginaire pur si et seulement si m décrit une hyperbole (H) dont on précisera une équation, le centre et les asymptotes.

b)  Quels sont les points m du plan tels que Z soit réel ?
Soit (C) leur courbe; exprimer y en fonction de x.

c)  Que peut-on dire de (H) ∩ (C) relativement à Z ? En déduire les coordonnées des points d'intersection de (H) et (C) sans résoudre le système défini par les équations de (H) et de (C).

4- Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, soit M d'affixe z = x + iy, M' son image par la rotation de centre O, d'angle +π/2 et A d'affixe i. Trouver une condition nécessaire et suffisante en x et y pour que M, A et M' soient alignés.

5- On note a, b, c les affixes des sommets A, B, C d'un triangle. A quelle condition sur a, b et c, ABC est-il équilatéral ?

6- On considère l'équation polynomiale (E) : (z + i)ⁿ = (z - i)ⁿ, z complexe.

a) Quel est le degré de cette équation ?

b) Vérifier que le nombre réel z = cotan(π/3) = 1/√3 est solution de l'équation lorsque n = 3.
    Vérifier qu'il en est de même de z = cotan(2π/3).
c) En se ramenant aux racines n-ièmes de l'unité, montrer que les solutions de (E) sont réelles et égales à  cotan(kπ/n), k = 1, ..., n - 1.

1- La forme donnée est manifestement de module 1. Soit z = cosθ + isinθ le complexe de module 1 qui doit lui être égal. Un petit calcul élémentaire conduit à x = tanθ/2.

2- Les nombres (1 + i√3)ⁿ et (1 - i√3)ⁿ sont de module 2 et conjugués, d'arguments respectifs π/3 et -π/3. On peut alors écrire :

(1 + i√3)ⁿ - (1 - i√3)ⁿ  = 2ⁿ[e^+inπ/3 - e^-inπ/3] = 2ⁿi.sin(nπ/3)

sin(nπ/3) s'annule pour nπ/3 multiple de π : nπ/3 = kπ, soit n = 3k, k entier.

3-  a) On sépare tout d'abord les partie réelle et imaginaire de Z =  (z + 1 + i)(z - i) = z² + z - i + 1 en posant z = x + iy :

Z = x² - y² + x + 1+ i(2xy + y - 1)

Z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, c'est à dire si et seulement si x² - y² + x + 1 = 0. Cette équation peut se mettre sous la forme y² - (x + ½)² = 3/4 ou encore y²/(√3/2)² - (x + ½)²/(√3/2)² = 1. Il s'agit donc d'une hyperbole équilatère (H) de centre ω(-½,0), d'asymptotes y = ± (x + ½).

b) Z est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, c'est à dire si et seulement si 2xy + y - 1 = 0. Cette équation peut se mettre sous la forme y = 1/(2x + 1). Il s'agit encore d'une hyperbole équilatère (C) : homographie.

c) Si M(x,y) est un point de (H) ∩ (C), alors z = x + iy rend Z à la fois réel et imaginaire pur : c'est dire que Z est nul, donc que z + 1 + i = 0 ou z - i = 0. Ce qui conduit à M(-1;-1) et M(0;1).

4- L'affixe de M' est z' = iz = -y + ix (» isométries du plan complexe); on a donc M(-y,x) et A(0,1). M, A et M' alignés si et seulement si det(AM, AM') = 0. L'ensemble cherché est donc le cercle d'équation x² + y² - x - y = 0, centré en (½,½) de rayon 1/√2 (contenant A et O).

Si votre navigateur accepte les applets Java  (» extension CheerpJ) :

5-  ABC équilatéral ⇔ C est l'image de A dans la rotation de centre B d'angle ± π/3. En termes de nombres complexes, on peut donc écrire : ABC équilatéral ⇔ c - b = e^±iπ/3(a - b) ⇔  (c - b)/(a - b) = e^±iπ/3. 

Les nombres e^+iπ/3 et e^-iπ/3 sont conjugués. Posons alors z = e^iπ/3. On a z + z = 2cos(π/3) = 1 et z × z = | z |² = 1. Par suite :

(c - b)/(a - b) = e^±iπ/3  ⇔  

Ce qui conduit, en développant à :

6-  a) L'équation peut s'écrire (z + i)ⁿ - (z - i)ⁿ = 0. En développant (z + i)ⁿ et (z - i)ⁿ, par la formule du binôme, zⁿ s'élimine mais non pas les termes de de degré n - 1, à savoir respectivement inz^n-1 et -inz^n-1 qui vont au contraire s'ajouter. L'équation est donc de degré n - 1.

b) Trop facile...

c) i n'étant pas solution, on peut se ramener à [(z + i)/(z - i)]ⁿ = 1 et poser X = (z + i)/(z - i), ce qui nous ramène aux racines n-èmes de l'unité : à savoir e^2ikπ/n, k = 0, 1, 2, ..., n-1. Le cas k = 0 doit être exclu car 1 n'est pas solution de l'équation.

X = (z + i)/(z - i), conduit à z = i(X + 1)/(X - 1) = i(e^2ikπ/n + 1)/(e^2ikπ/n - 1). On sait ou on montrera (» ici) que (e^iα + 1)/(e^iα - 1) = -i.cotan(α/2). Donc z = cotan(kπ/n), k = 1, 2, ..., n-1 : nous avons n - 1 solutions (conforme au théorème de d'Alembert) et ces solutions sont réelles.