ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Fille ou Garçon ?                   niveau TerS/Sup         Voir aussi...


    

Vous sonnez au domicile d'une famille de deux enfants. La porte s'ouvre. Un des enfants, un garçon, vous salue.

Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?

Pour éviter tout débat à s'arracher les cheveux concernant d'éventuels jumeaux, nous dirons que nos deux bambins sont nés séparément à au moins 9 mois l'un de l'autre...

De plus, il est supposé tant l'indépendance des sexes d'une naissance à l'autre que leur équiprobabilité. Cette dernière propriété étant d'ailleurs fausse :

Il naît plus de garçons que de filles.

Si vous séchez après avoir bien cherché (calcul théorique et informatique) :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

La réponse n'est pas 1/2 ! Quatre cas ont pu se produire dans cette famille : une fille (F) puis un garçon (G) : FG, ou bien GF, ou bien FF ou bien GG. Si un garçon vous a ouvert, alors il n'y a plus que 3 cas possibles de même probabilité : FG, GG et GF et deux cas favorables : FG et GF. La probabilité cherchée est donc 2/3.

Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué, d'autant que certains diront qu'il n'y a pas lieu de distinguer FG et GF. Soit, mais dans ce cas, il n'y a plus équiprobabilité des éventualités et le raisonnement élémentaire ci-dessus ("cas favorables"/"cas possibles") ne tient plus.

On regroupe alors nos éventualités comme indiqué sur l'arbre ci-dessous :

On utilise maintenant la formule des probabilités composées de De Moivre (probabilités conditionnelles). On a :

Pr(Ef /Eg) = (1/2)/(3/4) = 2/3

Dans cet exercice, on voit qu'il ne faut pas confondre l'indépendance des éventualités qui nous permet de construire Ω et celle des événements que l'on peut définir dans cet univers. L'apport d'une information supplémentaire sur la composition de la famille nous montre la différence pouvant exister entre des probabilités calculées à priori et a posteriori.

De façon plus abstraite, il nous faut ici distinguer de nouveau entre GF et FG : équiprobabilité a priori des 4 éventualités, et si l'événement Eag = « l'aîné est un garçon » conditionne notre univers, nous cherchons :

Pr(Ef/Eag) = Pr(Ef et Eag)/Pr(Eag) = Pr({GF})/Pr({GF,GG}) = (1/4)/(1/2) = 1/2

mais c'est franchement faire trop compliqué pour un si petit exo...

Solution informatique... :

Pour les amateurs de programmation et de simulation, voici maintenant une façon pragmatique de voir les choses :

Afin de vérifier notre probabilité théorique de 2/3, on peut simuler le problème comme suit :




<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function fg()
{
n=10000;
n=prompt("Combien d'expériences ? :",n)
if (n==null) {return} else n=eval(n)
p=0;f=0;
for (k=1;k<=n;k++)
{
x=Math.random();
if(x<.75){p++}
y=Math.random();
if(y<.5) {f++}
}
proba=Math.floor(f/p*100)/100;
alert("Je trouve une proba d'environ "+proba)
}
</SCRIPT>

 Si vous vous attachez à la probabilité que le second enfant soit encore un garçon, le programme est le même ! mais alors cette probabilité est aussi 2/3 et on a dit plus haut que c'est 1/3 (événement contraire) ! Contradiction ? Non, car vu sous cet angle, il faudra diviser la probabilité finale par 2 (= factorielle 2) car le garçon que vous présumez exister en second n'est pas celui qui vous a ouvert la porte et il ne s'agit pas de le comptabiliser deux fois.


© Serge Mehl - www.chronomath.com