ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Fille ou Garçon ?                 niveau TerS/Sup


    

Vous sonnez au domicile d'une famille de deux enfants. La porte s'ouvre. Un des enfants, un garçon, vous salue.

Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?

Pour éviter tout débat à s'arracher les cheveux concernant d'éventuels jumeaux, nous dirons que nos deux bambins sont nés séparément à au moins 9 mois l'un de l'autre...

De plus, il est supposé tant l'indépendance des sexes d'une naissance à l'autre que leur équiprobabilité. Cette dernière propriété étant d'ailleurs fausse :

 
I
l naît plus de garçons que de filles.

Si vous séchez après avoir bien cherché (calcul théorique et informatique) :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

La réponse n'est pas 1/2 ! Quatre cas ont pu se produire dans cette famille : une fille (F) puis un garçon (G) : FG, ou bien GF, ou bien FF ou bien GG. Si un garçon vous a ouvert, alors il n'y a plus que 3 cas possibles de même probabilité : FG, GG et GF et deux cas favorables : FG et GF. La probabilité cherchée est donc 2/3.

Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué, d'autant que certains diront qu'il n'y a pas lieu de distinguer FG et GF. Soit, mais dans ce cas, il n'y a plus équiprobabilité des éventualités et le raisonnement élémentaire ci-dessus ("cas favorables"/"cas possibles") ne tient plus.

On regroupe alors nos éventualités comme indiqué sur l'arbre ci-dessous :

On utilise maintenant la formule des probabilités composées de De Moivre (probabilités conditionnelles). On a :

Pr(Ef /Eg) = (1/2)/(3/4) = 2/3

Dans cet exercice, on voit qu'il ne faut pas confondre l'indépendance des éventualités qui nous permet de construire Ω et celle des événements que l'on peut définir dans cet univers. L'apport d'une information supplémentaire sur la composition de la famille nous montre la différence pouvant exister entre des probabilités calculées à priori et a posteriori.

De façon plus abstraite, il nous faut ici distinguer de nouveau entre GF et FG : équiprobabilité a priori des 4 éventualités, et si l'événement Eag = « l'aîné est un garçon » conditionne notre univers, nous cherchons :

Pr(Ef/Eag) = Pr(Ef et Eag)/Pr(Eag) = Pr({GF})/Pr({GF,GG}) = (1/4)/(1/2) = 1/2

mais c'est franchement faire trop compliqué pour un si petit exo...

Solution informatique... :

Pour les amateurs de programmation et de simulation, voici maintenant une façon pragmatique de voir les choses :

Afin de vérifier notre probabilité théorique de 2/3, on peut simuler le problème comme suit :




<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function fg()
{
n=10000;
n=prompt("Combien d'expériences ? :",n)
if (n==null) {return} else n=eval(n)
p=0;f=0;
for (k=1;k<=n;k++)
{
x=Math.random();
if(x<.75){p++}
y=Math.random();
if(y<.5) {f++}
}
proba=Math.floor(f/p*100)/100;
alert("Je trouve une proba d'environ "+proba)
}
</SCRIPT>

 Si vous vous attachez à la probabilité que le second enfant soit encore un garçon, le programme est le même ! mais alors cette probabilité est aussi 2/3 et on a dit plus haut que c'est 1/3 (événement contraire) ! Contradiction ? Non, car vu sous cet angle, il faudra diviser la probabilité finale par 2 (= factorielle 2) car le garçon que vous présumez exister en second n'est pas celui qui vous a ouvert la porte et il ne s'agit pas de le comptabiliser deux fois.


© Serge Mehl - www.chronomath.com