Approximations successives - Théorème du point fixe de Brouwer |
De nombreuses méthodes algorithmiques recherchant les solutions d'une équation à une inconnue réelle de la forme f(x) = 0, conduisent à une suite (xn) convergeant vers la solution cherchée et régie par une relation de récurrence de la forme :
On parle de résolution par approximations successives. C'est le cas des méthodes classiques de résolution comme :
La fonction f est continue sur un intervalle ouvert I admettant sur cet intervalle un zéro unique, unique solution de l'équation f(x) = 0, que nous noterons a. C'est dire que le zéro a doit être isolé : c'est le problème de la séparation (ou l'isolement) des solutions d'une équation : on dit qu'un zéro a de f est isolé dans I pour signifier que f(x) est non nul dans I sauf en x = a. Une étude graphique peut, la plupart du temps, aider à la résolution de ce problème.
Nous allons prouver le théorème ci-dessous apparaissant comme cas particulier du théorème du point fixe, dû à Brouwer, selon lequel toute application continue d'un compact de Rn dans lui-même admet un point fixe.
Théorème du point fixe : |
Soit h une fonction dérivable, de fonction dérivée h' continue sur un voisinage V d'un point fixe a de h, c'est à dire h(a) = a et vérifiant :
alors la suite (xn) définie par
xn+1= h(xn) converge vers a dès
que xo (ou x1 suivant le cas) est choisi dans
V.
Preuve :
soit x un réel quelconque de V. h'
étant continue sur V est intégrable sur
[a,x] et en appliquant le théorème de la
moyenne :
où cx est un point de [a,x]. Ainsi :
et si le premier terme de la suite (xn) est xo choisi dans V, on a en particulier :
On en déduit :
C'est dire que x1 est une meilleure approximation de a que xo . On peut recommencer le raisonnement en remplaçant xo par x1 élément de V et on aura d'une façon générale :
et par suite, au moyen d'une récurrence évidente :
La suite (xn) converge donc vers L puisque la condition 0 < M < 1 implique la convergence vers 0 de Mn.
➔ Les élèves des Terminales scientifiques ont certainement remarqué la ressemblance avec la méthode de preuve de convergence liée à l'usage de l'inégalité des accroissements finis.