ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Approximations successives - Théorème du point fixe

De nombreuses méthodes algorithmiques recherchant les solutions d'une équation à une inconnue réelle de la forme f(x) = 0, conduisent à une suite (xn) convergeant vers la solution cherchée et régie par une relation de récurrence de la forme :

xn+1 = h(xn)

On parle de résolution par approximations successives. C'est le cas des méthodes classiques de résolution comme :

Méthode de Newton :        Méthode de Lagrange :        Méthode de Héron :

La fonction f est continue sur un intervalle ouvert I admettant sur cet intervalle un zéro unique, unique solution de l'équation f(x) = 0, que nous noterons a. C'est dire que le zéro a doit être isolé  : c'est le problème de la séparation (ou l'isolement) des solutions d'une équation : on dit qu'un zéro a de f est isolé dans I pour signifier que f(x) est non nul dans I sauf en x = a. Une étude graphique peut, la plupart du temps, aider à la résolution de ce problème.

Nous allons prouver le théorème ci-dessous apparaissant comme cas particulier du théorème du point fixe, dû à Brouwer, selon lequel toute application continue d'un compact de Rn dans lui-même admet un point fixe.

Théorème du point fixe :

Soit h une fonction dérivable, de fonction dérivée h' continue sur un voisinage V d'un point fixe a de h, c'est à dire h(a) = a et vérifiant :

alors la suite (xn) définie par xn+1= h(xn) converge vers a dès que xo (ou x1 suivant le cas) est choisi dans V.

Preuve : soit x un réel quelconque de V. h' étant continue sur V est intégrable sur [a,x] et en appliquant le théorème de la moyenne :

    

où cx est un point de [a,x]. Ainsi :

h(x) - a = (x - a ).h'(cx)

et si le premier terme de la suite (xn) est xo choisi dans V, on a en particulier :

x1 - a = (xo- a ).h'(cxo)

On en déduit :

| x1 - a | | xo- a |. M < | xo- a |.

C'est dire que x1 est une meilleure approximation de a que xo . On peut recommencer le raisonnement en remplaçant xo par x1 élément de V et on aura d'une façon générale :

| xn - a | | xn-1 - a |

et par suite, au moyen d'une récurrence évidente :

| xn - a | Mn.| xo- a |

La suite (xn) converge donc vers L puisque la condition 0 < M < 1 implique la convergence vers 0 de Mn.

 Les élèves des Terminales scientifiques ont certainement remarqué la ressemblance avec la méthode de preuve de convergence liée à l'usage de l'inégalité des accroissements finis.

Aitken et accélération de convergence :


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