ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul aléatoire d'une intégrale et du nombre p

Avec l'aide de l'ordinateur et d'un petit programme en JavaScript, nous allons calculer une aire par une méthode aléatoire (dite de Monte-Carlo) sans recours au calcul intégral. Notre outil sera la loi faible des grands nombres de Jakob Bernoulli.

La méthode est appliquée au :

• calcul approché de ln2
• calcul approché du nombre p

Soit f une fonction continue et positive sur [a,b] dont nous notons m le maximum sur cet intervalle. L'aire cherchée est :

ici représentée comme une cible, est touchée par une fléchette si les coordonnées x et y de la pointe de celle-ci vérifient :

a x b   et   0 y f(x)

Tirons donc une fléchette en décidant que l'univers des éventualités est l'ensemble des points du rectangle délimité par les droites [x = a], [x = b], l'axe des abscisses x'x et la droite [y = m] où m est le plus grand des deux nombres f(a) et f(b). Notons S l'aire de ce rectangle. L'ordinateur va simuler le lancement d'une fléchette dans ce rectangle grâce à sa fonction génératrice de nombres aléatoires. Si cette fonction est efficace, on peut admettre l'équiprobabilité des éventualités.

La probabilité de "tomber" dans la cible, c'est à dire d'atteindre un point de l'aire A cherchée, est (intuitivement?) A/S. La répétition de N tirages engendre une variable aléatoire binomiale B(N;A/S) et, d'après la loi faible des grands nombres de Jakob Bernoulli, si on note F le nombre de fois où la fléchette est tombée dans la cible, on a donc, pour N suffisamment grand :

• F/N A/S, soit A F.S/N
• S = m x (b - a), avec m = max[f(a),f(b)]

La fléchette est tombée dans l'aire hachurée A si son ordonnée, notée yr dans le programme, est inférieure à y = f(x), soit ici, si yr 1/x.

 La fonction Math.random génère un nombre aléatoire. En fait le nombre u obtenu est pseudo-aléatoire car généré entre 0 et 1 (0 < u < 1) par un récurrence comme :

où a et b sont puisés, par exemple, à partir de l'heure à laquelle l'utilisateur met en route le programme. L'instruction FRAC retourne la partie décimale d'un nombre : FRAC(x) = x - E(x), c'est à dire x privé de sa partie entière.

En posant d = b - a, l'instruction x = a + d*random() fournit x dans l'intervalle ]a,b[ puisque 0 < random() < 1. Ici x variera donc de 1 à 2 : notons que le fait "d'intégrer" sur l'ouvert ]1,2[ ne modifie pas la valeur de l'intégrale. L'instruction

évite de préciser Math. devant chaque fonction mathématique utilisée.

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript> function integr() { with (Math) { n=0 ; c=0 ; a=1 ; b=2 ; f="1/x" f=prompt("Votre fonction f(x) = ",f); if(f==null) return a=eval(prompt("borne inf. = ",a)); if(a==null) return b=eval(prompt("borne sup. = ",b)); if(b==null) return x=a;ya=eval(f);x=b;yb=eval(f) m=max(yb,ya);d=b-a;s=m*d while (1) { n++ x=a+d*random() y=eval(f) ; yr=m*random(); if (yr< y) {c++} if (n%1000==0) { if (!confirm(" n = "+n+" , J = "+s*c/n))return } }}} </SCRIPT>

votre fonction doit être positive sur l'intervalle [a,b] d'intégration avec f(a) distinct de f(b) ! Le programme accepte pi et e. On peut entrer, par exemple, 2*pi/3, sqrt(e) pour e, etc.  fonctions mathématiques usuelles Par défaut, le programme calcule ln 2 en intégrant 1/x sur l'intervalle [1,2]. La convergence... aléatoire, est due à l'aspect non purement aléatoire de la fonction random : il n'y a pas équiprobabilité.

 

On suppose, ci-dessus, A(6,0) et C(0,3). L'aire du rectangle OABC est 18 unités d'aire; celle du demi-disque D  de diamètre OA est 9p/2.

Le rectangle OABC est la cible dans laquelle on lance des fléchettes au hasard. On admet en outre qu'aucune fléchette ne tombe en dehors du rectangle (l'ordinateur nous y aidera...)

Ici, point d'intégrale, on connaît l'aire du disque. La probabilité qu'une fléchette tombe dans le demi-cercle est égale au rapport des aires, soit :

Lançons n fléchettes et appelons F le nombre de fois où nous sommes tombés dans le demi-cercle, événement considéré comme un succès; nous sommes en présence d'une loi binomiale B(n,p/4). D'après la loi faible des grands nombres, la variable B converge en probabilité vers p/4 lorsque n tend vers l'infini . C'est dire que si n est assez grand, on doit avoir, en appelant F le nombre de fois où la fléchette est tombée dans le demi-cercle : F/n p/4, soit :

p 4F/n

L'équation du demi-cercle est (x - 3)² + y ²= 9 , x variant de 0 à 6 et y, de 0 à 3.

L'ordinateur doit simuler un tirage à l'intérieur du rectangle afin que l'univers des éventualités soit effectivement les tirs dans le rectangle. Si la fléchette tombe dans le demi-cercle, F augmente de 1.