ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
FEJÉR Lipót
(Leopold), hongrois, 1880-1959 |
De son vrai Leopold Weiss de consonance autrichienne,
Fejér,
puisqu'il faut l'appeler par son nom, le changea pour faire plus hongrois
(l'empire austro-hongrois est démantelé à la fin de la 1ère guerre mondiale).
Après des études scientifiques à Budapest (mathématiques et physique), il se rend à Berlin où il fut l'étudiant de Hermann Schwarz qui dirigea sa thèse (1902).
Fejér enseigna à l'université de Budapest de 1902 à 1905 et à Kolzsvar (aujourd'hui Cluj en Roumanie) jusqu'en 1911. De retour à Budapest, il y enseignera jusqu'à sa mort.
Ses travaux portent essentiellement sur l'approximation des fonctions en collaboration avec son compatriote Frigyes Riesz sur des sujets d'analyse harmonique initiés par Fourier (représentation d'une fonction par une série trigonométrique). On lui doit aussi des travaux en analyse complexe sur les transformations conformes. Il fut le directeur de thèse de Marcel Riesz, frère cadet de Frigyes Riesz.
| Sommes de Fejér associées à une série de Fourier (1900) : |
Si f est une fonction numérique 2πpériodique, ses coefficients de Fourier sont, pour tout n de N :
Les sommes partielles de la série de Fourier associée à f sont alors :
Les sommes de Fejér sont alors celles de Cesaro associées à la suite (Sn) :
On peut exprimer cette somme au moyen de la fonction f :
»
expression de Sn
en fonction de f
| Théorème de Fejér : |
Avec les notations et conditions ci-dessus :
Si f est continue sur un intervalle fermé borné J, alors les sommes de Fejér convergent uniformément vers f sur J.
Lorsque f est 2pi-périodique, bornée et intégrable et n'admet que des discontinuités de 1ère espèce, alors les sommes de Fejér convergent pour tout x vers vers ½[f(x + 0) + f(x - 0)].
Séries de Fourier, autres théorèmes de convergence, analyse harmonique : »
Si f est élément de Lp, espace des fonctions de puissance p-ème intégrable au sens de Lebesgue, alors les sommes de Fejér convergent vers f en moyenne d'ordre p : ||σn(x) - f ||p tend vers 0.
Perron