ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Notion de nombre ordinal selon Cantor

Un nombre ordinal exprime le rang, l'ordre : comme premier, deuxième, troisième, ... : en posant f : nn-ème, on peut identifier l'ensemble N* ={1, 2, 3, ...} des entiers naturels non nuls  (nombres cardinaux) avec les nombres ordinaux qui leurs correspondent {1er, 2ème, 3ème, ...}.

On voit dans ce cas que compter et ordonner expriment la même pensée. Il n'en est pas de même dans des ensembles abstraits infinis (de cardinal infini). La théorie des nombres ordinaux, introduite par Cantor dans l'étude de la convergence des séries trigonométriques, n'est pas simple, on en donne ci-après une approche.       

Le concept de nombre ordinal est calqué sur les propriétés de l'ordre usuel dans N : un ordre total pour lequel toute partie non vide admette un plus petit élément, on parle de bon ordre et d'ensemble bien ordonné.

 Zermelo, bon ordre et axiome du choix :

Deux ensembles bien ordonnés (E,<) et (F,<<) peuvent être considérés en tant que suite d'éléments rangés en respectant leur ordre total, du "plus petit" au "plus grand".

Comme on va le voir ci-dessous, une bijection entre E et F, confirmant leur équipotence, peut être mise en défaut dans les ensembles infinis si on lui impose de respecter leurs ordres respectifs : la notion de cardinal s'avère donc insuffisante pour caractériser ce phénomène !

Une bijection f de (E,<) vers (F,<<) est dite respecter les ordres (leur ordonnancement en quelque sorte de E et F, si pour tous a et b dans E tels que a b, on a f(a) << f(b) dans F. On peut parler d'isomorphisme de (E,<) sur (F,<<) et on dira que E et F ont le même type d'ordre.     Jordan


Vérifier que la relation binaire R définie par E R F ssi  il existe un isomorphisme de (E,<) sur (F,<<)
est une relation d'équivalence

Une classe d'équivalence pour la relation R ci-dessus est appelée ordinal (substantif). Les éléments d'une même classe sont dits avoir même nombre ordinal : la suite de cet article justifiera cet usage adjectivé.

Noter que dans le cas des ensembles finis, il y a coïncidence entre nombres cardinaux et nombres ordinaux. Considérons par exemple E = {a, b, c, d} : il est ici rangé dans l'ordre lexicographique (l'ordre des dictionnaires). Notons (E,<o) cet ensemble bien ordonné.

Il y a 4! = 24 (factorielle 4) façons d'ordonner E. à chacun de ces ordres <k , k = 0, 2, ... 23, on peut faire correspondre un ensemble bien ordonné (E,<k). Quel que soit l'ordre <k, il y aura toujours un 1er élément et un dernier et 4ème élément : tous les (E,<k) ont même ordinal 4.

La condition d'équipotence ne suffit pas pour les ensembles infinis, ce qui montre que cardinal et ordinal sont généralement à distinguer :

Un exemple constructif :      

Considérons N = {0, 1, 2, ..., n, ...}, ensemble des entiers naturels muni de son ordre total usuel, noté (N,), et ce même ensemble, noté ici (N,), rangé dans un ordre différent : {1, 2, ..., n, ..., 0} au moyen de la relation ainsi définie :

1. Si a et b sont non nuls :  a b a b.
2. Quel que soit a dans N : a 0.


Vérifier que l'on définit ainsi une relation d'ordre total dans N et que (N,) est bien ordonné.

Si f est une bijection de (N,) sur (N,) respectant l'ordre, la relation a b entraîne f(a) f(b) pour tous a et b de N. Si k est l'antécédent de 0 dans (N,), k + 1 est son successeur et on a k k + 1.

Par conséquent f(k) f(k + 1) dans (N,), c'est à dire 0 f(k + 1). Mais dans (N,), on a nécessairement l'ordre inverse : f(k + 1) 0. Par antisymétrie de la relation d'ordre, on en déduit f(k + 1) = 0. C'est ennuyeux : f ne serait pas bijective.

Ceci montre que 0 n'est image d'aucun élément de N : encore très fâcheux ! il ne peut donc pas exister une bijection respectant l'ordre et on en conclut que (N,) et (N,) n'ont pas le même ordinal.

Tout comme pour les cardinaux transfinis, Cantor n'hésite pas à noter ω l'ordinal de l'ensemble des entiers naturels rangés par ordre croissant, en le considérant comme un nombre ordinal... ordinaire. Dans ses Grundlagen, Cantor écrit à ce sujet :

Il n'y a rien de choquant à imaginer un nouveau nombre qui servira à exprimer que la collection (0,1,2,3, ...) tout entière est donnée conformément à sa loi, dans sa succession naturelle.

Le choix de ω s'explique par le fait que c'est le dernier élément de l'alphabet grec. ω est ainsi la classe des ensembles équivalents à N pour la relation R étudiée ci-dessus.

C'est le début d'une théorie générale des nombres transfinis que l'on peut additionner, multiplier (opérations non commutatives), comparer et élever à toute puissance entière comme tout nombre "usuel" permettant d'établir une classification des ensembles transfinis suivant la nature de leur infinitude.

Sur ce très intéressant chapitre des fondements des mathématiques, le lecteur intéressé pourra tout particulièrement étudier le petit, mais très complet livre de E. Kamke référencé ci-dessous.

 Von Neumann et la construction de N :

 Pour en savoir plus :


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