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Notion de fonction périodique, période     niveau 1ère à Sup

La notion de fonction périodique semble simple et pourtant... C'est quoi la période d'une fonction dite périodique ? Pas vraiment évident... L'objectif est de montrer que si une fonction est périodique et non constante, ses périodes sont les multiples kT, k décrivant Z, d'une même période T, plus petit élément strictement positif tel que f(x + T) = f(x).

» Cette page s'appuie sur le chapitre III d'analyse, §6 du cours de mathématiques générales de MM Pisot et Zamansky. Dans la partie A, niveau 1èreS/TerS, on apporte définition et exemples. La partie B s'adresse à des étudiants en mathématiques.

Partie A :

Définition 1 :    

Soit f une fonction numérique. Notons D_f son ensemble de définition. On dit que f est périodique pour exprimer qu'il existe un nombre réel non nul u vérifiant la propriété suivante :

Si x∈D_f, alors x + u∈D_f  et  f(x + u) = f(x)        (p)

1°/ On suppose f périodique. Montrer que si u vérifie (p) ci-dessus, alors il en est de même de ku pour tout entier naturel k.

2°/ On suppose f périodique. Montrer que si u vérifie (p) ci-dessus, alors si  x - u∈D_f , -u et -ku vérifient (p) pour tout entier naturel k.

Définition 2 :    

Tout réel vérifiant (p) est une période de f.

• Les fonctions sinus et cosinus vérifient D_sin = D_cos = R et  ∀x∈R, sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x).
• La fonction tangente vérifie D_tan = R - {π/2 + nπ, n∈Z} et ∀x∈D_tan, tan(x + π) = tan(x).
• Si f est périodique, la fonction g définie par g(x) = f(x) + C où C désigne une constante arbitraire, est périodique.
• La fonction dérivée d'une fonction périodique dérivable est également périodique (preuve : revenir à la définition de la dérivée en tant que limite du taux d'accroissement de f et calculer f '(x + u), u désignant une période de f).
• Les primitives d'une fonction périodique ne sont généralement pas périodiques. Choisir, par exemple, f(x) = sin x +1.

Définition 3 :    

On appelle période fondamentale de f le plus petit nombre réel u strictement positif, s'il existe, vérifiant (p). Soit T ce nombre. On dit que f est T-périodique ou bien de période T. On dira aussi, simplement, que T est la période de f.

• Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques. Mais on peut dire que 4π est une période de la fonction sinus.

Les lignes qui suivent s'adressent au niveau Bac + n, n ≥ 1...

En fait la difficulté est dans cette définition 3 : on voit, avec les exemples donnés et les questions 1° et 2°, que tout multiple d'une période est encore une période et parler de plus petit élément d'un sous-ensemble de R est problématique car :

Toute partie minorée de R admet une borne inférieure    » ensembles bornés de nombres réels

Mais pas nécessairement un plus petit élément. Raison pour laquelle, la définition 3 précise s'il existe ! Cette partie étudie les divers cas pouvant se présenter.

Partie B :

On considère une fonction numérique f définie sur R tout entier. Vu que f(x + 0) = f(x), on admet de considérer ici que 0 est une période de f et on suppose que f admet au moins une période non nulle u. On note U l'ensemble des périodes de f.

1°/ Montrer que (U,+) est un sous-groupe du groupe additif (R,+) des nombres réels.

2°/ On se propose de prouver que si U admet un point d'accumulation, alors U est dense dans R. Soit ]a,b[, a < b, un intervalle ouvert (borné) de R.  Rappel : On dit qu'une partie A de R est dense dans R pour exprimer que tout réel x est limite d'une suite d'éléments de A.

    a/ On suppose tout d'abord que 0 est un point d'accumulation de U. Il existe donc une suite (u_n) de points de U qui converge vers 0. En remarquant que si n est suffisamment grand, on a | u_n | < b - a, montrer que U est dense dans R.

    b/ On suppose maintenant que α est un point d'accumulation non nul de U. Il existe donc une suite (u_n) de points de U qui converge vers α. Montrer, en utilisant que (u_n) est une suite de Cauchy, que l'on peut se ramener au cas précédent et donc que U est dense dans R.

3°/  On suppose maintenant que U ne possède pas de point d'accumulation. D'après la Partie A, on peut se restreindre aux éléments strictement positifs de U. Soit J = [0,a], a > 0, un intervalle fermé borné de R contenant au moins une période de f. Selon le théorème de Bolzano-Weierstrass, on sait que tout ensemble infini et borné de nombres réels admet au moins un point d'accumulation. En déduire que le nombre de périodes présentes dans J est fini.

4°/  On considère l'ensemble des périodes u₁, u₂, ..., u_n présentes dans J avec  u₁ < u₂ < ... < u_n. Soit u_p l'une d'elles. En remarquant que u₁, 2u₁, 3u₁ ..., ku₁, (k + 1)u₁, ... sont des périodes de f, montrer qu'il existe un entier naturel k tel que ku₁ = u_p. C'est dire que dans ce cas :

les périodes de f sont les multiples de la plus petite période strictement positive

• Pour la fonction sinus, par exemple et par construction même, la période fondamentale est 2π. Les périodes sont les multiples de 2π.

5°/   Montrer que la fonction f définie par f(x) = x - E(x) pour tout x réel est périodique. Préciser sa période fondamentale. E(x) désigne la partie entière usuelle de x : si n ≤ x < n + 1, n ∈ Z, alors E(x) = n.

6°/   On suppose U dense dans R. Montrer que pour tout x_o de R, l'ensemble U_o = {x_o + u, u∈U} est dense dans R. En déduire que si f est continue et périodique, alors f est constante.

 ➔  On retiendra finalement, de 3° et 4° que si les périodes de f sont isolées (leur ensemble n'admet pas de point d'accumulation), alors elles sont de la forme kT, k décrivant Z, T désignant le plus petit élément strictement positif tel que f(x + T) = f(x).

On retrouve ainsi la définition donnée au lycée et rencontrée pour les fonctions trigonométriques classiques ou les fonctions définies périodiques par construction comme :

Soit f la fonction définie par :

Réponses

Partie A :

1°/  Pour k = 2, si x∈D_f, alors x + u∈D_f et x + 2u = (x + u) + u∈D_f . D'autre part f(x + 2u) = f [x + u) + u)] = f(x + u) = f(x). On montrera alors par récurrence, de façon analogue, que si x + (k - 1)u∈D_f  et f [x + (k - 1)u] = f(x), alors x + ku∈D_f et f [x + ku] = f(x).

2°/ Pour x appartenant à D_f , si x - u∈D_f , on peut écrire f(x) = f [(x - u) + u] = f(x - u). De la même façon, en écrivant f(x) = f [(x - ku) + ku] et en appliquant 1°, on obtiendra f(x) = f(x - ku).

Partie B :

1°/ Par convention, on a supposé que 0 est une période de f. Il suffit maintenant de prouver que si u et u' sont deux périodes de f, alors u - u' en est une :

f(x + u - u') = f [(x - u') + u)] = f(x - u') = f [(x - u') + u')] = f(x)

(U,+) est un donc un sous-groupe de (R,+).

2°/ a/ On suppose que 0 est un point d'accumulation de U. Il existe donc une suite (u_n) de points de U qui converge vers 0 :

∀ε > 0, ∃ N_ε∈N, n ≥ N_ε ⇒ | u_n | < ε

Par suite, il suffit de choisir ε < b - a afin d'avoir | u_n | < b - a pour tout n ≥ N_ε.

Posons alors m = N_ε et U_m = {ku_m, k∈Z*}. Les éléments de U_m sont des périodes de f et | u_m | étant strictement inférieur à la longueur b - a de l'intervalle ]a,b[, il existe une valeur de k telle que ku_m∈]a,b[. C'est dire que tout intervalle ]a,b[ de R contient au moins une période de f : U est dense dans R.

2°/ b/ Il existe une suite (u_n) de points de U qui converge vers α. Or, toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy :

∀ε , ∃ N_ε∈N / n > N_ε , n' > N_ε ⇒ |u_n - u_n'| < ε

Lorsque n et n' tendent vers l'infini, |u_n - u_n'| tend vers 0. On peut donc construire au moyen des nombres |u_n - u_n'| une suite d'éléments de U (selon 1°) convergeant vers 0. Ce qui nous ramène au cas α = 0 : dans ce cas encore, U est dense dans R.

• Soit f la fonction caractéristique de Q dans R : f(x) = 1 si x∈Q, f(x) = 0 sinon. Si x est rationnel, quel que soit r rationnel, x + r est rationnel, donc f(x + r) = 1. Si x est non rationnel, quel que soit r rationnel, y = x + r ne l'est pas (sinon x = y - r serait rationnel). Donc f(x + r) = 0. C'est dire que f est périodique et ∀r∈Q, f(x + r) = f(x). Or Q est dense dans R.

3°/  Soit U' l'ensemble  des périodes présentes dans J. U ne possédant pas de point d'accumulation, par contraposition du théorème de Bolzano-Weierstrass, on déduit que U' est fini on non borné. Étant borné, U' est donc fini.

4°/  u₁ étant une période de f, on sait (partie A) que ses multiples u₁, 2u₁, 3u₁ ..., ku₁, (k + 1)u₁, ... sont des périodes de f. Si k le plus petit entier naturel tel que ku₁ ≤ u_p, on aura ku₁ ≤ u_p < (k + 1)u₁ et par conséquent 0 ≤ u_p - ku₁ < u₁. Si 0 < u_p - ku₁, alors  u_p - ku₁ est une période de f présente dans J strictement inférieure à u₁ : contradiction, donc u_p = ku₁.

• Pour la fonction sinus, par exemple et par construction même, la période fondamentale est 2π. Les périodes sont les multiples de 2π. un cas analogue est étudié en 5° :

5°/  Soit T > 0, une période éventuelle de f. On doit avoir f(x + T) = f(x) pour tout x. Ce qui revient à écrire x + T - E(x + T) = x - E(x). D'où E(x + T) - E(x) = T. Par conséquent T∈N. L'ensemble des périodes ne possède donc que des points isolés (pas de point d'accumulation). Selon 4°, la période fondamentale ne peut être que 1, plus petit élément strictement positif de N. Vérifions : pour tout x de R, si n ≤ x < n +1, n∈Z , alors n + 1 ≤ x + 1 < n + 2. Donc E(x + 1) = E(x) + 1 et f(x + 1) = x + 1 - E(x + 1) = f(x). En conclusion et selon 4°, l'ensemble des périodes de f est Z, ensemble des multiples de 1.

 ➔   La question précédente et la partie A nous enseigne que f(x - 1) = f(x) et plus généralement f(x + n) = f(x) pour tout n de Z. Le lecteur méfiant vis à vis de E(x) peut retrouver E(x - 1) = E(x) - 1 en écrivant E(x) = E[(x - 1) + 1] = E(x - 1).

6°/  Soit x_o fixé dans R et x∈R. Posons y = x - x_o. U étant dense dans R, il existe une suite (u_n) d'éléments de U tendant vers y. Par conséquent, la suite (v_n) définie par v_n = x_o + u_n est une suite d'éléments de U_o qui tend vers x_o + y = x. Ce qui prouve que U_o est dense dans R.

Maintenant, si x est un réel quelconque, il est limite d'une suite (v_n) d'éléments de U_o de la forme v_n = x_o + u_n et, pour tout u de U, on a f(x_o + u) = f(x_o). u_n étant élément de U, on a donc f(x_o + u_n) = f(x_o). D'où lim f(x_o + u_n) = f(x_o). Mais, par continuité de f : lim f(x_o + u_n) = f [lim(x_o + u_n)] = f(lim v_n) = f(x). Finalement f(x) = f(x_o) pour tout x : f est constante.

Remarque :    

On pouvait faire plus simple et plus court en utilisant le théorème de prolongement des fonctions continues se traduisant ici par si f est une fonction constante sur une partie dense, alors elle est constante partout. Ayant pour tout u de U, f(x_o + u) = f(x_o), f est constante sur U_o dense dans R, donc f est constante sur R.