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Notion de fonction périodique, période     niveau 1ère à Sup

La notion de fonction périodique semble simple et pourtant... C'est quoi la période d'une fonction dite périodique ? Pas vraiment évident... L'objectif est de montrer que si une fonction est périodique et non constante, ses périodes sont les multiples kT, k décrivant Z, d'une même période T, plus petit élément strictement positif tel que f(x + T) = f(x).

  Cette page s'appuie sur le chapitre III d'analyse, §6 du cours de mathématiques générales de MM Pisot et Zamansky. Dans la partie A, niveau 1èreS/TerS, on apporte définition et exemples. La partie B s'adresse à des étudiants en mathématiques.

Partie A :

Définition 1 :    

Soit f une fonction numérique. Notons Df son ensemble de définition. On dit que f est périodique pour exprimer qu'il existe un nombre réel non nul u vérifiant la propriété suivante :

Si xDf, alors x + uDf  et  f(x + u) = f(x)        (p)

1°/ On suppose f périodique. Montrer que si u vérifie (p) ci-dessus, alors il en est de même de ku pour tout entier naturel k.

2°/ On suppose f périodique. Montrer que si u vérifie (p) ci-dessus, alors si  x - uDf , -u et -ku vérifient (p) pour tout entier naturel k.

Définition 2 :    

Tout réel vérifiant (p) est une période de f.

Définition 3 :    

On appelle période fondamentale de f le plus petit nombre réel u strictement positif, s'il existe, vérifiant (p). Soit T ce nombre. On dit que f est T-périodique ou bien de période T. On dira aussi, simplement, que T est la période de f.


Les lignes qui suivent s'adressent au niveau Bac + n, n ≥ 1...

En fait la difficulté est dans cette définition 3 : on voit, avec les exemples donnés et les questions 1° et 2°, que tout multiple d'une période est encore une période et parler de plus petit élément d'un sous-ensemble de R est problématique car :

Toute partie minorée de R admet une borne inférieure   ensembles bornés de nombres réels

Mais pas nécessairement un plus petit élément. Raison pour laquelle, la définition 3 précise s'il existe ! Cette partie étudie les divers cas pouvant se présenter.

Partie B :

On considère une fonction numérique f définie sur R tout entier. Vu que f(x + 0) = f(x), on admet de considérer ici que 0 est une période de f et on suppose que f admet au moins une période non nulle u. On note U l'ensemble des périodes de f.

1°/ Montrer que (U,+) est un sous-groupe du groupe additif (R,+) des nombres réels.

2°/ On se propose de prouver que si U admet un point d'accumulation, alors U est dense dans R. Soit ]a,b[, a < b, un intervalle ouvert (borné) de RRappel : On dit qu'une partie A de R est dense dans R pour exprimer que tout réel x est limite d'une suite d'éléments de A.

    a/ On suppose tout d'abord que 0 est un point d'accumulation de U. Il existe donc une suite (un) de points de U qui converge vers 0. En remarquant que si n est suffisamment grand, on a | un | < b - a, montrer que U est dense dans R.

    b/ On suppose maintenant que α est un point d'accumulation non nul de U. Il existe donc une suite (un) de points de U qui converge vers α. Montrer, en utilisant que (un) est une suite de Cauchy, que l'on peut se ramener au cas précédent et donc que U est dense dans R.

3°/  On suppose maintenant que U ne possède pas de point d'accumulation. D'après la Partie A, on peut se restreindre aux éléments strictement positifs de U. Soit J = [0,a], a > 0, un intervalle fermé borné de R contenant au moins une période de f. Selon le théorème de Bolzano-Weierstrass, on sait que tout ensemble infini et borné de nombres réels admet au moins un point d'accumulation. En déduire que le nombre de périodes présentes dans J est fini.

4°/  On considère l'ensemble des périodes u1, u2, ..., un présentes dans J avec  u1 < u2 < ... < un. Soit up l'une d'elles. En remarquant que u1, 2u1, 3u1 ..., ku1, (k + 1)u1, ... sont des périodes de f, montrer qu'il existe un entier naturel k tel que ku1 = up. C'est dire que dans ce cas :

les périodes de f sont les multiples de la plus petite période strictement positive

5°/   Montrer que la fonction f définie par f(x) = x - E(x) pour tout x réel est périodique. Préciser sa période fondamentale. E(x) désigne la partie entière usuelle de x : si n ≤ x < n + 1, n Z, alors E(x) = n.

6°/   On suppose U dense dans R. Montrer que pour tout xo de R, l'ensemble Uo = {xo + u, uU} est dense dans R. En déduire que si f est continue et périodique, alors f est constante.

On retiendra finalement, de 3° et 4° que si les périodes de f sont isolées (leur ensemble n'admet pas de point d'accumulation), alors elles sont de la forme kT, k décrivant Z, T désignant le plus petit élément strictement positif tel que f(x + T) = f(x).

On retrouve ainsi la définition donnée au lycée et rencontrée pour les fonctions trigonométriques classiques ou les fonctions définies périodiques par construction comme :

Soit f la fonction définie par :

f est 2π-périodique et f(x) = | x | sur [-π,+π]              calcul de ζ(2)


Réponses

Partie A :

1°/  Pour k = 2, si xDf, alors x + uDf et x + 2u = (x + u) + uDf . D'autre part f(x + 2u) = f [x + u) + u)] = f(x + u) = f(x). On montrera alors par récurrence, de façon analogue, que si x + (k - 1)uDf  et f[x + (k - 1)u] = f(x), alors x + kuDf et f [x + ku] = f(x).

2°/ Pour x appartenant à Df , si x - uDf , on peut écrire f(x) = f [(x - u) + u] = f(x - u). De la même façon, en écrivant f(x) = f[(x - ku) + ku] et en appliquant 1°, on obtiendra f(x) = f(x - ku).

Partie B :

1°/ Par convention, on a supposé que 0 est une période de f. Il suffit maintenant de prouver que si u et u' sont deux périodes de f, alors u - u' en est une :

f(x + u - u') = f [(x - u') + u)] = f(x - u') = f [(x - u') + u')] = f(x)

(U,+) est un donc un sous-groupe de (R,+).

2°/ a/ On suppose que 0 est un point d'accumulation de U. Il existe donc une suite (un) de points de U qui converge vers 0 :

ε > 0, NεN, n ≥ Nε | un | < ε

Par suite, il suffit de choisir ε < b - a afin d'avoir | un | < b - a pour tout n ≥ Nε.

Posons alors m = Nε et Um = {kum, k Z*}. Les éléments de Um sont des périodes de f et | um | étant strictement inférieur à la longueur b - a de l'intervalle ]a,b[, il existe une valeur de k telle que kum ]a,b[. C'est dire que tout intervalle ]a,b[ de R contient au moins une période de f : U est dense dans R.

2°/ b/ Il existe une suite (un) de points de U qui converge vers α. Or, toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy :

ε , NεN  /  n > Nε , n' > Nε  |un - un'| < ε

Lorsque n et n' tendent vers l'infini, |un - un'| tend vers 0. On peut donc construire au moyen des nombres |un - un'| une suite d'éléments de U (selon 1°) convergeant vers 0. Ce qui nous ramène au cas α = 0 : dans ce cas encore, U est dense dans R.

3°/  Soit U' l'ensemble  des périodes présentes dans J. U ne possédant pas de point d'accumulation, par contraposition du théorème de Bolzano-Weierstrass, on déduit que U' est fini on non borné. Étant borné, U' est donc fini.

4°/  u1 étant une période de f, on sait (partie A) que ses multiples u1, 2u1, 3u1 ..., ku1, (k + 1)u1, ... sont des périodes de f. Si k le plus petit entier naturel tel que ku1 ≤ up, on aura ku1 ≤ up < (k + 1)u1 et par conséquent 0 ≤ up - ku1 < u1. Si 0 < up - ku1, alors  up - ku1 est une période de f présente dans J strictement inférieure à u1 : contradiction, donc up = ku1.

5°/  Soit T > 0, une période éventuelle de f. On doit avoir f(x + T) = f(x) pour tout x. Ce qui revient à écrire x + T - E(x + T) = x - E(x). D'où E(x + T) - E(x) = T. Par conséquent TN. L'ensemble des périodes ne possède donc que des points isolés (pas de point d'accumulation). Selon 4°, la période fondamentale ne peut être que 1, plus petit élément strictement positif de N. Vérifions : pour tout x de R, si n ≤ x < n +1, n Z , alors n + 1 ≤ x + 1 < n + 2. Donc E(x + 1) = E(x) + 1 et f(x + 1) = x + 1 - E(x + 1) = f(x). En conclusion et selon 4°, l'ensemble des périodes de f est Z, ensemble des multiples de 1.

  La question précédente et la partie A nous enseigne que f(x - 1) = f(x) et plus généralement f(x + n) = f(x) pour tout n de Z. Le lecteur méfiant vis à vis de E(x) peut retrouver E(x - 1) = E(x) - 1 en écrivant E(x) = E[(x - 1) + 1] = E(x - 1).

6°/  Soit xo fixé dans R et xR. Posons y = x - xo. U étant dense dans R, il existe une suite (un) d'éléments de U tendant vers y. Par conséquent, la suite (vn) définie par vn = xo + un est une suite d'éléments de Uo qui tend vers xo + y = x. Ce qui prouve que Uo est dense dans R.

Maintenant, si x est un réel quelconque, il est limite d'une suite (vn) d'éléments de Uo de la forme vn = xo + un et, pour tout u de U, on a f(xo + u) = f(xo). un étant élément de U, on a donc f(xo + un) = f(xo). D'où lim f(xo + un) = f(xo). Mais, par continuité de f : lim f(xo + un) = f [lim(xo + un)] = f(lim vn) = f(x). Finalement f(x) = f(xo) pour tout x : f est constante.

Remarque :    

On pouvait faire plus simple et plus court en utilisant le théorème de prolongement des fonctions continues se traduisant ici par si f est une fonction constante sur une partie dense, alors elle est constante partout. Ayant pour tout u de U, f(xo + u) = f(xo), f est constante sur Uo dense dans R, donc f est constante sur R.


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