 BAIRE René
Louis,
français, 1874-1932
 Charles
Péguy (1873-1914),
écrivain
français, a 1 an |
Normalien, agrégé de mathématiques (1895), tout d'abord professeur de lycée à Troyes, Baire se rend en Italie à l'instigation de Jules Tannery, son professeur à l'ENS, et suit les cours de Volterra et Dini. Il soutiendra sa thèse à Milan en 1899 portant sur l'étude de la Continuité des fonctions limites de fonctions continues. Il enseignera à l'université de Montpellier (1902-1905) puis à Dijon. Malade, il dut se retirer en 1914.
Ce grand mathématicien français est l'auteur d'importants travaux en topologie générale, sur la notion de dimension topologique, sur une nouvelle théorie des fonctions numériques (classification en différents types) et sur le concept de semi-continuité (apparue dans sa thèse) qui permettra, en particulier, et avec la théorie de la mesure de Borel, la mise en place d'une nouvelle théorie de l'intégration édifiée par Lebesgue.
Hausdorff Notion
de topologie :
| Parties rares, parties maigres : |
Dans un espace topologique E, une partie A de E est dite rare si le complémentaire de son adhérence est partout dense. Une partie maigre est une réunion finie ou dénombrable de parties rares.
Vocabulaire de la topologie :
| Espace de Baire : |
On appelle ainsi un espace topologique séparé dans lequel toute intersection dénombrable d'ouverts denses est un ouvert dense.
Tout espace métrique complet est un espace de Baire.
Il existe des espaces de Baire non complets : considérer tout simplement R privé de Q !
| Théorème de Baire-Banach : |
Toute application linéaire continue et bijective d'un espace de Banach vers un espace de Baire est bicontinue (i.e. continue ainsi que sa réciproque).
| Fonction de Baire, tribu de Baire : |
E désignant un espace topologique, on nomme ainsi toute limite simple d'une suite de fonctions continues de E dans R.
Ce
sont les fonctions de classe 1. La classe 0 est celle des
fonctions continues. De façon récurrente, les fonctions
de classe n sont les limites simples des fonctions de la
classe n-1.
| Fonctions semi-continues : |
Soit E un espace topologique et xo un point de E. Une fonction f de E dans R est dite :
semi-continue inférieurement (en abrégé sci) en xo si :
ce qui peut s'écrire :
∀ε > 0, ∃V, voisinage de xo, tel
que :
∀x 
V, f(xo)
< f(x) + ε
semi-continue supérieurement (en abrégé scs) en xo si :
ce qui peut s'écrire :
∀ε > 0, ∃V, voisinage de xo, tel
que :
∀x V, f(x) <
f(xo) + ε
La
semi-continuité sur une partie A de E exprime la semi-continuité en tout point
de A. On remarquera qu'une fonction continue
en un point est une fonction semi-continue inférieurement et supérieurement en
ce point. Noter aussi que f est sci (resp. scs) si et seulement si - f est scs
(resp. sci).
La semi-continuité inférieure (resp. supérieure)
est à distinguer de la continuité à gauche (resp. à droite). Une illustration de
cette assertion est donnée par f(x) = E(-x), partie entière de l'opposé de x,
représenté en rose sur le graphique. f est continue
à gauche en tout point n de Z et
semi-continue supérieurement
en un tel point (dans le voisinage considéré ci-dessous, on a f(x) = n ou f(x) =
n - 1) :
Selon la remarque précédente, g(x) = -f(x) = -E(-x) est encore semi-continue inférieurement et continue à gauche.
Montrer que la fonction x
E(x) et x
-E(x)
sont continues à droite, la première étant scs, la seconde sci.
Théorème du point fixe de Kakutani :
Pour en savoir
plus :
Quelques publications de René Baire sur le site Numdam et
lettres à Émile Borel.
http://www.numdam.org/numdam-bin/recherche?h=aur&aur=Baire,+Ren%e9&format=short
Dickson