ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Dénombrabilité
de l'ensemble Q des nombres rationnels |
On dit qu'un ensemble E est dénombrable, s'il est équipotent à N. C'est à dire s'il existe une bijection de N sur E. Plus généralement, deux ensembles E et F sont dits équipotents, s'il existe une bijection de E sur F. En quelque sorte, deux ensembles équipotents ont "autant" d'éléments au sens de leurs cardinaux ou, tout au moins, la même infinité :
Bien que l'on pense naïvement qu'il y a beaucoup plus de nombres rationnels que d'entiers naturels et, même, qu'il n'y a pas de "trous" entre eux, il y en a en fait autant... : Q n'a que la puissance du dénombrable (» nombres cardinaux).
On peut considérer Q comme la réunion de ses éléments strictement positifs Q+, de ses éléments négatifs Q- et du singleton {0}. Eu égard à la proposition 3-1 de la page consacrée à Cantor, on se limite alors à prouver que Q+-{0} est dénombrable et on peut se persuader de l'équipotence entre N et Q+-{0} en rangeant, comme le fit Cantor, les rationnels de la façon suivante :
Ce tableau montre que tout rationnel admet un rang. Par exemple, dans ce "rangement", 3/2 est classé 8ème. On définit ainsi une application f de N vers Q+ qui est :
injective : deux rationnels distincts admettent des rangs distincts. Certains diront que le tableau contient des rationnels non irréductibles : 2/3 et 4/6 représentent cependant effectivement le même rationnel, plus exactement la même classe d'équivalence de rationnels (relation a/b ~ c/d ⇔ ad = bc). Par distincts, on entend "écriture distincte". Or si notre ensemble représenté par la matrice est dénombrable, l'ensemble des nombres rationnels obtenu en supprimant les écritures équivalentes redondantes le sera a fortiori : toute partie d'un ensemble dénombrable est dénombrable.
surjective (à toute place sera inscrit un rationnel : on le cherche en ligne par son dénominateur, puis en colonne pour son numérateur).
L'application f est donc bijective : N et Q+ sont équipotents.
➔ Ce rangement des rationnels permet de montrer qu'il existe un relation de bon ordre sur Q.