ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Dénombrabilité de l'ensemble Q des nombres rationnels

On dit qu'un ensemble E est dénombrable, s'il est équipotent à N. C'est à dire s'il existe une bijection de N sur E. Plus généralement, deux ensembles E et F sont dits équipotents, s'il existe une bijection de E sur F. En quelque sorte, deux ensembles équipotents ont "autant" d'éléments au sens de leurs cardinaux, ou tout au moins la même infinité :

  Cantor , Bernstein

Bien que l'on pense naïvement qu'il y a beaucoup plus de nombres rationnels que d'entiers naturels et, même, qu'il n'y a pas de "trous" entre eux, il y en a en fait autant... : Q n'a que la puissance du dénombrable.

On peut considérer Q comme la réunion de ses éléments strictement positifs Q+, de ses éléments négatifs Q- et du singleton {0}. Eu égard à la proposition 3-1 de la page consacrée à Cantor, on se limite alors à prouver que Q+-{0} est dénombrable et on peut se persuader de l'équipotence entre N et Q+-{0} en rangeant, comme le fit Cantor, les rationnels de la façon suivante :

Ce tableau montre que tout rationnel admet un rang. Par exemple, dans ce "rangement", 3/2 est classé 8ème. On définit ainsi une application f de N vers Q+ qui est injective (deux rationnels distincts1 admettent des rangs distincts) et surjective (à toute place sera inscrit un rationnel : on le cherche en ligne par son dénominateur, puis en colonne pour son numérateur). L'application f est donc bijective : N et Q+ sont équipotents.

Ce rangement des rationnels permet de montrer qu'il existe un relation de bon ordre sur Q.

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1 par distinct, on entend "écriture distincte", 7/7 et 3/3 représente cependant le même rationnel. Si notre ensemble représenté par la matrice est dénombrable, l'ensemble des nombres rationnels obtenu en supprimant les écritures équivalentes redondantes le sera a fortiori : toute partie d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

Dénombrabilité des nombres algébriques :            Continuité et non dénombrabilité de R (diagonale de Cantor) :    


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