ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres puissants      » Liens analogiques : Nombres de Mersenne , de Fermat , de Carmichael , de Wilson , de Wieferich Nombres abondants , Nombres premiers , Nombres pratiques

Un entier naturel n non nul est dit puissant lorsque, dans sa décomposition en produit de facteurs premiers n = p₁^α1 × p₂^α2 × ... × p_k^αk tous ses facteurs primaires p_i^αi sont au moins de degré 2 : quel que soit i = 1, 2, ...,k, α_i ≥ 2. Autrement dit :

n∈N*, n est puissant   ⇔   si  p est un diviseur premier de n, alors  p² divise n.

 ➔   Quoique n'entrant pas dans le cadre de la définition ci-dessus (1 n'est pas premier), pour des raisons pratiques, on considère que 1 est puissant.

• Par exemple : 4 = 2² , 8 = 2³ , 9 = 3² , 16 = 4² , 27 = 3³ , 32 = 2⁵, ..., 675 = 5² × 3³ , 2916 = 2² × 9³, ... sont puissants.
  Il en est de même, entre autres consécutifs de 288 et 289, 675 et 676 ou encore 9800 et 9801.

• Par contre : 12 = 3 × 2² , 480 = 3 × 5 × 2⁵  ne sont pas puissants.

∗∗∗
Montrer que n! = 1 × 2 × 3 × ... × n (factorielle n) n'est puissant pour aucun n de N.

Les nombres puissants furent étudiés relativement récemment, en particulier par Paul Erdös dans les années 1930, lors de ses travaux en théorie additive des nombres, en lien avec ses recherches d'une preuve du grand théorème de Fermat selon lequel si n est supérieur à 2, il n'existe pas d'entiers x, y et z non nuls pour lesquels xⁿ + yⁿ = zⁿ. Ils furent qualifiés de puissants par le mathématicien américain S. W. Golomb dans un article publié en 1970 dans le journal The American Mathematical Monthly (» réf.1&9) :

 i  Solomon Wolf Golomb (1932-2016) : mathématicien et ingénieur américain, spécialiste en théorie des nombres et de l'information (théorie du signal, codage, compression de données). Diplômé de l'université d'Harward, sa thèse (1957) s'intitulait Problems in the distibution of the prime numbers. On le connaît également pour ses jeux, variantes du jeu de dames, du jeu d'échecs, de Tétris.

Le cas le plus élémentaire de nombre puissant est celui du carré parfait, à savoir un entier naturel de la forme c² = c × c comme 1, 4, 9, 16, ... correspondant géométriquement à l'aire d'un carré dont le côté est mesuré par un nombre entier d'unités. à leur sujet, on pourra lire une page intéressante de François Brunault (ENS Lyon) sur le site images des mathématiques du CNRS : » clic...

En désignant par a, b, k et n des entiers naturels au moins égaux à 2 :

1. Comme déjà dit, tout carré parfait n² est puissant;

2. Toute puissance entière n^k, k ≥ 2, est puissante. En particulier tout cube n³ est puissant;

3. Tout produit d'entiers puissants est puissant. En particulier, a² × b² = (a × b)² est puissant;

4. Tout produit de la forme a² × b³ est puissant, a ≥ 1, b ≥ 1.

Preuve de 4 : si b = 1, n est un carré, donc puissant; si a = 1, b est un cube donc puissant; si a = b = 1, n = 1, donc puissant par convention. Soit p premier divisant n = a² × b³, a ≥ 2, b ≥ 2. Si p est premier avec b, il l'est aussi avec b³ car b et b³ ont les mêmes diviseurs premiers. Selon le théorème de Gauss, p divise a². Les diviseurs premiers de a² sont ceux de a; p divise donc a et par conséquent p² divise a², donc divise n. Raisonnement semblable si p est premier avec a.

On a en fait ce résultat :

Proposition :    

Les nombres puissants sont les entiers de la forme a² × b³, a et b entiers, a ≥ 1, b ≥ 1.
(on  peut faire en sorte que b ne contienne aucun facteur carré, ce qui assure alors l'unicité de l'écriture).

Autrement dit :  

Les nombres puissants sont les carrés, les cubes ou le produit d'un carré et d'un cube.

• Par exemple : 43200 = 25 × 1728 = 5² × 12³ est puissant, forme a² × b³, mais b = 12 contient le facteur carré 4 : 5² × 12³ = 5² × 3³ × 4³.
  Finalement on écrira 43200 = 40² × 3³.

Preuve : on vient de montrer que tout entier de la forme n = a² × b³, a ≥ 1, b ≥ 1, est puissant. Inversement, soit n un nombre puissant au moins égal à 2. Sa décomposition en produit de facteurs premiers est de la forme p₁^α1 × p₂^α2 × ... × p_k^αk avec, par définition, α_i  ≥ 2.

• Si tous les α_i sont pairs (α_i = 2β_i, β_i ≥ 1), n est un carré, n = a², donc puissant;

• S'il existe des α_i impairs (α_i = 2β_i + 1, β_i ≥ 1), on peut écrire  α_i = 2(β_i - 1) + 3, d'où p_i^αi = p_i^{2(βi - 1)} × p_i³. En regroupant le produit des exposants pairs, on construit le nombre a² et en regroupant le produit des cubes (exposant 3), on construit b³.

• Le cas d'un cube n = b³ correspond à des α_i tous impairs avec β_i  = 1.

Densité des nombres puissants :   

Eu égard à leur expression de la forme a² × b³, on conçoit que les nombres puissants sont "nombreux". Concernant leur répartition dans l'ensemble des entiers naturels, Solomon Golomb a montré qu'étant donné un entier n, le nombre P(n) d'entiers puissants inférieurs à n s'exprime au moyen de la fonction ζ (zêta) de Riemann, à savoir (» réf.2&9) :

P(n) = ζ(3/2)/ζ(3) × √n ≅ 2,173√n

soit, en densité sur [1,n]  :

P(n)/n ≅ (1 + √3)/√n

Tout comme dans le cas des nombres premiers, pour lesquels ce nombre est asymptotiquement π(n) ≅  n/ln(n), les nombres puissants se raréfient pour n "grand" et leur densité asymptotique, limite de leur densité pour n infini, est nulle.

 ➔  En fait, ces nombres ne sont donc pas si nombreux que ça dans N. Omar Sonebi (» réf.9) nous prouve en quelques lignes ce joli résultat proposé ici en exercice :

Pour tout entier k non nul de N, il existe une suite de k entiers consécutifs non puissants

Une non moins jolie propriété (Golomb, preuve en réf.9) :   

La série des inverses des nombres puissants est convergente et sa somme est ζ(2) × ζ(3)/ζ(6)

Remarque : il n'en est pas de même de la somme des inverses des nombres premiers : leur série diverge.

Nombres puissants consécutifs :   

Il existe une infinité de paires d'entiers consécutifs puissants comme 8 et 9, 288 et 289, 333 et 334, ...

La preuve de ce résultat est relativement simple; on pourra considérer le sujet du bac S 2018, Métropole, ex. 4 spé. Math (» réf.8) basé sur l'équation de Pell : x² - 8y² = 1 admettant la solution initiale x_o = 3, y_o = 1 et vérifiant la récurrence :

x_n = 3x_n-1 + 8y_{n-1  ,} y_n = y_ox_n-1 + x_oy_n-1        (» Pell)

Paul Erdös (en 1975) puis le canadien Richard A. Mollin, assisté d'un de ses étudiants P. G. Walsh (université de Calgary, 1986, réf.12) ont conjecturé l'inexistence de triplets de nombres puissants consécutifs. Le problème reste ouvert en juillet 2018.

En la même année 1986, dans un court article, le mathématicien anglais Andrew Granville établit que si cette conjecture s'avère vraie, alors le dernier théorème de Fermat l'est aussi pour une infinité de nombres premiers. On voit ainsi le lien, a priori inattendu, entre nombres premiers et nombres puissants.

En particulier, Granville prouve que :

Si la conjecture d'Erdös-Mollin & Walsh est vraie (inexistence de triplets consécutifs puissants),
alors il existe une infinité de nombres premiers p tels que p² ne divise pas 2^p - 2

Nombres premiers de Wieferich : »

 i   Richard Anthony Mollin (1947-2014) : mathématicien canadien spécialiste en théorie des nombres et cryptographie. Après des études, à l'université Western Ontario, Richard Mollin obtient son doctorat (1975) à la Queen's university de Kingston (Ontario). Il enseigna principalement à l'université de Calgary. On pourra consulter un In memoriam en réf.12. La seconde édition de son Introduction à la cryptographie est en ligne sur archive.org.

 i   Andrew Granville (1962-) : mathématicien anglais, professeur à l'université de Montréal (Canada).
      Homepage : https://dms.umontreal.ca/~andrew/expository.php

 i   Michael Burnet Monagan (1966-) : mathématicien canadien, professeur à l'université Simon Fraser (proche Vancouver, Canada).
      Homepage : https://www.cecm.sfu.ca/~mmonagan/

Nombres premiers jumeaux : »

 ➔   Remarque :   

• En termes de théorie additive des nombres, si certains entiers peuvent  bien évidemment s'écrire comme somme de deux nombres puissants, on a vu que ce n'est pas toujours le cas (un entier c étant donné, peut-on écrire  c = a + b avec a et b puissants ? ). Mais il a été prouvé (1988) qu'au delà d'un certain rang un entier naturel peut s'écrire comme somme de trois nombres puissants (source info. :  CRC, Eric Weisstein).

Lien analogique, Joseph Oesterlé et la conjecture ABC : »

En 1909, le mathématicien allemand Arthur Wieferich publiait dans le journal de Crelle (vol. 136) un article, Zum letzten Fermat'schen theorem , (A propos du dernier théorème de Fermat) qui eut un grand retentissement dans le microcosme de la théorie des nombres :

Si l'équation en nombres entiers x^p + y^p = z^p  possède une solution non triviale
pour un entier p premier autre que 2 ne divisant pas le produit xyz, alors p² divise 2^p - 2.

•  Le cas p = 2 est trivial, il correspond au théorème de Pythagore en nombres entiers, dont une solution bien connue, parmi une infinité, est (x,y,z) = (3,4,5) :  3² + 4² = 5² :  »  triplets pythagoriciens.

 ➔   Le "petit" théorème de Fermat affirme que si p est un entier premier, alors, pour tout entier a, a^p ≡ a [p]. Autrement dit p divise a^p - a. Dans le cas du théorème de Wieferich, p ne divise pas a = 2, on peut donc écrire que p et p² divisent 2^p-1 - 1 et ledit théorème peut aussi exprimer que p² divise 2^p-1 - 1 ou, sous forme de congruence : 2^p-1 ≡ 1 [p²] :

Si l'équation x^p + y^p = z^p  possède une solution non triviale (x,y,z)
pour p premier autre que 2 ne divisant pas le produit xyz, alors 2^p-1 ≡ 1 [p²].

 i   Arthur Josef Wieferich (1884-1954) : Natif de Münster, Arthur Wieferich est un mathématicien allemand qui étudia en l'université de cette ville (1903-1909) où Max Dehn enseignait alors la théorie des nombres. Son intérêt pour l'arithmétique est sans doute dû à cette rencontre mais il se tourne finalement vers l'enseignement primaire et fut instituteur dans plusieurs villes d'Allemagne tout en donnant des cours particuliers. Wieferich se fait brillamment remarquer par la publication de cinq articles (1908-1909) portant sur ses recherches en arithmétique dans la revue Mathematische Annalen (fondée par Rudolf  Cebsch et Carl Neumann en 1868) ainsi que dans le journal de Crelle. Il devint alors membre de la très sélecte et renommée Deutsche Mathematiker Vereinigung (Société des mathématiciens allemands) fondée en 1890 par Georg Cantor. Source biogr. : (» réf.14). 

On qualifie aujourd'hui de nombre premier de Wieferich, un nombre premier p tel que p² divise 2^p-1 - 1. Autrement dit :

Un nombre premier de Wieferich est une solution en nombre premier de l'équation modulaire 2^p-1 - 1 ≡ 0 [p²]

Les nombres de Wieferich sont "rares". En 2018, malgré l'aide considérable des moyens informatiques, on en connaît que deux, à savoir 1093, découvert en 1913 par Waldemar Meissner (en allemand : Meißner) et 3511, découvert en 1922 par Nicolaas Beeger (» réf.5). Selon les spécialistes du sujet, le prochain, s'il existe, est supérieur à 6,7 × 2¹⁵ (»  réf.6). Il a été conjecturé que leur nombre est cependant infini (» réf.7). Cette infinitude serait aussi une conséquence de la preuve de la conjecture ABC (»  réf.15)

En 1988, les mathématiciens Andrew Granville et M. B. Morgan généralisaient le résultat de Wieferich en prouvant qu'il restait vrai pour tout entier q premier de l'intervalle J = [2,89] en remplacement de 2 dans la congruence (historique du problème et preuve : » réf.4) :

Ce qui leur permit de prouver que le théorème de Fermat était vrai pour p le 714 591 416 091 389...

» Waring

 ➔    Pour en savoir plus :