Calcul sur les fractions unitaires

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Conjectures d'Erdös-Straus et de Sierpinski
Décomposition d'une fraction en somme de trois fractions unitaires » programme JavaScript

i Ernst Straus (1922-1983), ami de Erdös et de Albert Einstein, mathématicien américain d'origine allemande. Études à Jérusalem et New-York. Professeur à l'université Los Angeles, Californie. Travaux en théorie de la relativité, théorie des nombres et combinatoire.

♦ En 1950, Erdös et Straus s'intéressaient, comme le fit bien auparavant le scribe Ahmes, à la décomposition d'une fraction a/b en une somme de fractions unitaires (dont le numérateur est 1) et énonçaient la conjecture selon laquelle :

Pour tout n au moins égal à 2, on peut trouver des entiers (non nécessairement distincts) tels que :

4/n = 1/x + 1/y + 1/z

Par exemple : 4/7 = 1/4 + 1/4 + 1/14 ou encore 4/7 = 1/3 + 1/6 + 1/14.

♦ Cinq années plus tard (Sur les décompositions de nombres rationnels en fractions primaires, 1956), Sierpinski énonçait une conjecture semblable :

5/n = 1/x + 1/y + 1/z.

Par exemple : 5/9 = 1/3 + 1/6 + 1/18.

➔ Comme souvent en arithmétique, des conjectures ou théorèmes d'apparence anodine, compréhensibles par un écolier ou un collégien (comme la conjecture de Goldbach), sont en fait d'une grande complexité. De nos jours, la solution des problèmes d'arithmétique passe par l'analyse (calcul différentiel et intégral) et la géométrie algébrique. On l'a vu avec le grand théorème de Fermat et sa résolution par Wiles.

Un grand nombre de spécialistes en théorie des nombres se sont penchés sur ces équations diophantiennes comme Ronald L. Graham (américain, 1935-) qui publia On Finite Sums of Unit Fractions (1964), Richard K. Guy (canadien, 1916-) dans Unsolved Problems in Number Theory (1994).

Bien auparavant, Fibonacci explicita (1202) un algorithme de décomposition de toute fraction en somme de fractions unitaires et le mathématicien américain Solomon W. Golomb (1932-), professeur à l'université Los angeles (USC, University of Southern California) prouva que toute fraction x = n/d peut se décomposer en une somme d'au plus n fractions unitaires distinctes (An algebraic algorithm for the representation problems of the Ahmes papyrus,1962).

On peut facilement vérifier les deux conjectures par "essais et tâtonnements". Dans un calcul partiel, si une solution du type a/b = 1/x + 1/y est trouvée (a = 4 ou 5), on remarquera que a/b = 1/2x + 1/2x + 1/y. Si x, y et z distincts deux à deux est recherché, une formule souvent mise en application sera :

Par exemple : 4/9 = 1/9 + 3/9 = 1/9 + 1/3 = 1/9 + 1/4 + 1/12

∗∗∗
Montrer que si n est de la forme 3k + 2, alors 4/n = 1/n + 1/(k + 1) + 1/n(k + 1).
Exemple : 4/11 = 1/11 + 1/4 + 1/44 (k = 3)

! Il n'est pas dit qu'une forme 1/x + 1/y + 1/z est toujours égale à 4/n ou 5/n. !
Par exemple, 1/6 + 1/7 + 1/30 = 12/35 (irréductible) !

i On trouvera de nombreuses références sur le sujet à la page Sums of k unit fractions de l'AMS (American Mathematical Society).

Programme de recherche en JavaScript :

Voici un programme en JavaScript qui trouvera des solutions à ces deux conjectures. Plutôt que de se limiter aux fractions 4/n et 5/n, le programme accepte toute fraction a/n en tentant de la décomposer en une somme de trois fractions unitaires. Aucune approche théorique n'est ici mise en œuvre.

➔ Par défaut, l'ordinateur choisit 100 pour le maximum des valeurs prises par x, y et z. Si aucune solution n'apparaît, augmentez alors progressivement ce choix. L'ordinateur se débrouille par épuisement des cas... :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
a=prompt("Donnez le numérateur : ",4)
if (a==null) {return} else {a=eval(a)}
if(a!=Math.floor(a))
{alert("Le numérateur doit être entier !");go()}
n=0
while (n<2 || n!=Math.floor(n))
{
n=9;n=eval(prompt("Donnez n : ",n))
if (n==null) {return}
if(n<2){alert("n doit être au moins égal à 2 !")}
if(n!=Math.floor(n)){alert("n doit être entier !")}
}
max=eval(prompt("Donnez Max( x,y,z ) : ",100))
if (max==null) {return}
if(max<1){alert("max doit être au moins égal à 1 !")}
if(max!=Math.floor(max))
{alert("max doit être entier !")}

for(x=1;x<=max;x++)
{
for(y=x;y<=max;y++)        // x <= y <=z évitera
    {
     for(z=y;z<=max;z++)  // des solutions redondantes
        {
          if(a*x*y*z==n*(x*y+y*z+x*z)){u=fin();if(u==0)return}}}
}
alert("Pas (plus) de solutions avec max = "+max")
}
function fin()
{
if(!confirm("Une solution est "+a+"/"+n+" = 1/"+x+" + 1/"+y+" + 1/"+z)) {return 0} else {return 1}
}
</SCRIPT>

Exemples d'exécution avec x, y et z distincts 2 à 2 :

• Sierpinski :

• Erdös :

Décomposition en somme de 2, 3, 4 ou 5 fractions unitaires : »