Nombres
pratiques
(ou panarithmiques)
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Dans son Liber Abaci de 1202, Léonardo Fibonacci, adapte du calcul fractionnaire, s'était intéressé, dans le cadre de calculs commerciaux et à l'instar du scribe égyptien Ahmès de l'Égypte antique, à la décomposition des fractions ordinaires a/b, a ≤ b, en somme de fractions unitaires (également dites égyptiennes, dont le numérateur est 1), d'autant plus décomposables lorsque le dénominateur b possède la propriété suivante :
L'entier b, b ≥ 2, est dit pratique si tout entier k < b est la somme de diviseurs propres distincts de b
! Il n'est pas dit ci-dessus que tout entier k < b est la somme des diviseurs propres de b !
Quelques nombres pratiques : 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, ..., 100, 104, 108, ..., 200, 204, 208, ...
Ces nombres revinrent au gout du jour dans la seconde moitié du 20è siècle avec le mathématicien indien A. K. Srinivasan dans un court article publié en 1948 (» réf.1). On lui doit le qualificatif de pratique (en anglais practical). Ultérieurement, d'autres mathématiciens comme l'américain B. M. Stewart utilisèrent panarithmique mais ce nouveau qualificatif ne fut pas suivi. Stewart prouve par l'usage de ces nombres (Sums of distincts divisors, 1953, » réf.2) que :
Tout nombre rationnel peut s'écrire comme somme de fractions unitaires distinctes
Le regain d''intérêt envers ces nombres réside aujourd'hui dans leurs propriétés proches des nombres premiers et leur capacité à faciliter la factorisation de "grands" nombres en cryptologie (codage, sécurité bancaire).
i Bonnie Madison Stewart (1914-1994) : mathématicien américain fut un spécialiste en théorie des nombres. On lui doit aussi l'étude de polyèdres non convexes et leur classification. Après l'obtention de son doctorat (1941), il sera professeur à l'université d'État du Michigan, poste qu'il conservera jusqu'à sa retraite en 1980.
Proposition 1 :
Tout nombre parfait pair est pratique
Proposition 2 :
Pour tout entier n > 1, le nombre 2n-1(2n - 1) est pratique
Proposition 3 :
Tout nombre pratique est pair et, hormis 2, est multiple de 4 ou de 6
En 1984, le mathématicien français Maurice Margenstern a étudié les nombres pratiques et émis plusieurs conjectures à leur sujet (» réf.3) dont deux furent prouvées par l'italien Giuseppe Melfi en 1996 :
c1/ A l'instar de la conjecture de Goldbach :
Tout entier naturel pair peut s'écrire comme somme de deux nombres pratiques
c2/ |
Il existe une infinité d'entiers n tels que n - 2, n et n + 2 soient pratiques |
i Giuseppe
Melfi (1967-) : mathématicien
italo-suisse qui étudia à Pise. Après l'obtention de son doctorat (Some problems
in elemntary number theory and modular forms, 1997), G. Melfi enseigna à
Lausanne avant de rejoindre son poste actuel à l'université de Neuchâtel (source
: »
wiki.en).
HomePage :
http://members.unine.ch/giuseppe.melfi/mylife.html
i Maurice Margenstern : informaticien et mathématicien français, professeur émérite de l'université de Lorraine (Metz). Il dirigea le Laboratoire d'Informatique Théorique et Appliquée de 2000 à 2008. En mathématiques, outre les nombres pratiques, il s'intéressa en particulier au problème du pavage par dominos du plan hyperbolique en prouvant son indécidabilité (» réf.8). On pourra consulter sa page d'accueil (recherches, enseignement, responsabilités).
Nombres hautement composés (highly composite numbers) : »
➔ Pour en savoir plus :