ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres pratiques (ou panarithmiques)
     Liens analogiques : Nombre parfaits , Nombres quasi-parfaits , Nombre puissants

Dans son Liber Abaci de 1202, Léonardo Fibonacci, adapte du calcul fractionnaire, s'était intéressé, dans le cadre de calculs commerciaux et à l'instar du scribe égyptien Ahmès de l'Égypte antique, à la décomposition des fractions ordinaires a/b, a ≤ b,  en somme de fractions unitaires (également dites égyptiennes, dont le numérateur est 1), d'autant plus décomposables lorsque le dénominateur b possède la propriété suivante :

L'entier b, b ≥ 2, est dit pratique si tout entier k < b est la somme de diviseurs propres distincts de b

Ces nombres revinrent au gout du jour dans la seconde moitié du 20è siècle avec le mathématicien indien A. K. Srinivasan dans un court article publié en 1948 ( réf.1). On lui doit le qualificatif de pratique (en anglais practical). Ultérieurement, d'autres mathématiciens comme l'américain B. M. Stewart utilisèrent panarithmique mais ce nouveau qualificatif ne fut pas suivi. Stewart prouve par l'usage de ces nombres (Sums of distincts divisors, 1953, réf.2) que :

Tout nombre rationnel peut s'écrire comme somme de fractions unitaires distinctes

Le regain d''intérêt envers ces nombres réside aujourd'hui dans leurs propriétés proches des nombres premiers et leur capacité à faciliter la factorisation de "grands" nombres en cryptologie (codage, sécurité bancaire).

  Bonnie Madison Stewart (1914-1994) : mathématicien américain fut un spécialiste en théorie des nombres. On lui doit aussi l'étude de polyèdres non convexes et leur classification. Après l'obtention de son doctorat (1941), il sera professeur à l'université d'État du Michigan, poste qu'il conservera jusqu'à sa retraite en 1980.

Proposition 1 :   

Tout nombre parfait pair est pratique

Proposition 2 :   

Pour tout entier n > 1, le nombre 2n-1(2n - 1) est pratique

Proposition 3 :   

Tout nombre pratique est pair et, hormis 2, est multiple de 4 ou de 6

En 1984, le mathématicien français Maurice Margenstern a étudié les nombres pratiques et émis plusieurs conjectures à leur sujet  ( réf.3) dont deux furent prouvées par l'italien Giuseppe Melfi en 1996 :

c1/ A l'instar de la conjecture de Goldbach :

Tout entier naturel pair peut s'écrire comme somme de deux nombres pratiques

c2/

 Il existe une infinité d'entiers n tels que n - 2, n et n + 2 soient pratiques

  Giuseppe Melfi (1967-) : mathématicien italo-suisse qui étudia à Pise. Après l'obtention de son doctorat (Some problems in elemntary number theory and modular forms, 1997), G. Melfi enseigna à Lausanne avant de rejoindre son poste actuel à l'université de Neuchâtel (source : wiki.en).

  Maurice Margenstern : informaticien et mathématicien français, professeur émérite de l'université de Lorraine (Metz). Il dirigea le Laboratoire d'Informatique Théorique et Appliquée de 2000 à 2008. En mathématiques, outre les nombres pratiques, il s'intéressa en particulier au problème du pavage par dominos du plan hyperbolique en prouvant son indécidabilité ( réf.8). On pourra consulter sa page d'accueil (recherches, enseignement, responsabilités).

Nombres hautement composés (highly composite numbers) :


  Pour en savoir plus :

  1. L'article de A. K. Srinivasan  (très mal) numérisé sur le site CurrentScience (Inde) :
    http://www.currentscience.ac.in/Downloads/article_id_017_06_0179_0180_0.pdf
  2. Sums of distincts divisors (dont décomposition en fractions unitaires), par B. M. Stewart (American Journal of Mathematics, 1953) :
    https://www.jstor.org/stable/2372651?seq=1#page_scan_tab_contents
  3. a) Sur les nombres pratiques, par Maurice Margenstern (univ. Paris-Sud, 1984-85) :
    http://www.numdam.org/article/TAN_1984-1985__1__A4_0.pdf
    b) Les nombres pratiques, théorie, observations et conjectures, par Maurice Margenstern (univ. Paris-Sud, 1985
    sur Sciencedirect : https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X05800228 ou bien, si lien HS :
    https://ac.els-cdn.com/S0022314X05800228/1-s2.0-S0022314X05800228-main.pdf?_tid=f7c9de56-1831-4e...
  4. Practical numbers sur the On-line Encyclopedia of integer sequences : https://oeis.org/A005153
  5. Practical number sur Wolfram MathWorld d'Eric Weisstein http://mathworld.wolfram.com/PracticalNumber.html
  6. a) A survey on practical numbers, par Guiseppe Melfi (1995, univ. Pise, Italie) :
    http://www.seminariomatematico.unito.it/rendiconti/cartaceo/53-4/347.pdf
    b) On two conjectures about practical numbers, par Guiseppe Melfi (1996, univ. Pise, Italie) :
    http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.55.7350&rep=rep1&type=pdf
  7. Practical numbers and the distribution of divisors, par Andreas Weingartner (2015) : preuve d'une conjecture de Margenstern
    selon laquelle un nombre pratique x est asymptotique à x/lnx : https://academic.oup.com/qjmath/article/66/2/743/1593580
  8. a) A propos du pavage par dominos du plan hyperbolique d'un point de vue algorithmique (en anglais), par M. Margenstern :
    http://www.numdam.org/article/ITA_2008__42_1_21_0.pdf
    b) Le pavage par dominos du plan hyperbolique est indécidable (en anglais), par M. Margenstern :
    https://arxiv.org/pdf/0706.4161.pdf
     


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