ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul élémentaire du nombre e        
   Calcul précis par la formule d'Euler-Maclaurin , calcul haute précision...

On se propose de calculer au moyen de l'ordinateur une valeur approchée du nombre e, base des logarithmes népériens. La première est élémentaire et peu précise. La seconde fournit 15 décimales, ce n'est pas si mal. On trouvera beaucoup mieux ici...

Méthode 1 :

En dehors d'un encadrement simple de e, une première méthode rustique n'utilisant que des connaissances élémentaires, niveau terminale des lycées, consiste à évaluer avec une simple calculatrice ou un ordinateur le nombre (1 + 1/n)n pour n suffisamment grand. En effet, on sait que :

car cette limite n'est autre que le nombre dérivé en x = 0 de la fonction f(x) = ln(1 + x).

En posant x = 1/n, on en déduit une formule pressentie par Neper et établie rigoureusement par Euler :


 
Programmation de la méthode en JavaScript

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function expo1()
{
n=10000 ; n=eval(prompt("n = ",n))
e=1 ; f=1+1/n;
for(k=1;k<=n;k++) {e=e*f}
alert("e = "+e)
}

function expo2()
{
n=10000 ; n=eval(prompt("n = ",n))
e=Math.pow(1+1/n,n)
alert("e = "+e)
}

</SCRIPT>

  • Le premier programme ne fait volontairement pas appel à la fonction puissance car, dans les langages de programmation, cette dernière utilise généralement xn = en.ln x : on tourne en rond !
     

  • Le second programme utilise la fonction puissance du langage JavaScript : l'instruction Math.pow(x,n) calcule xn.

Pour x2 et x3, utiliser plus simplement x*x et x*x*x

Pour n = 10000 :

e = 2,7181459...

  fonctions mathématiques usuelles

          

 Remarquer que n = 10 000 ou 100 000 ne procurent que 3 décimales exactes. Il y a accumulation des erreurs d'arrondi. Le procédé est peu efficace. Pour n = 1 000 000 :

(1,000001)1000000 = 2,71828137...

les décimales soulignées sont fausses


Avec une calculatrice
(séquence de touches) :

1
+
10000
1/x
=
yx
10000
=

La calculatrice fournit 2,71814...

Méthode 2 :

Au moyen de la formule de Taylor, établir le développement en série du nombre e (dit parfois développement de Euler ) est évident. Nous allons cependant utiliser un détour plus formateur lié à la formule de Maclaurin pour les polynômes : si P est un polynôme de degré n :

P(x) = anxn + an-1xn-1+ ... + a2x2 + a1x + ao

Notons P(i) le polynôme dérivé ième de P : P' = P(1), P" = (P')' = P(2), etc. On a alors :

P(0) = ao, P'(0) = a1, P"(0) = P(2)(0) = a2.2! , P(3)(0) = a3.3!, ... , P(n)(0) = an.n!

et pour k > n : P(k)(0) = 0.

On en déduit la formule suivante, dite de Taylor / Maclaurin pour les polynômes :

P(x) = P(0) + x.P'(0) + x2.P"(0)/2! + x3.P(3)(0)/3! + xn.P(n)(0)/n!

Généralement, dans le cas d'une fonction indéfiniment dérivable f(x), aucune dérivée f(k) n'est la fonction nulle. Ecrivons alors :

f(x) = f(0) + x.f'(0) + x2.f"(0)/2! + x3.f(3)(0)/3! + xn.f(n)(0)/n! + Rn(x)

en espérant que si n est suffisamment grand, le reste Rn(x) puisse être considéré comme "suffisamment petit". Dans le cas de notre fonction exponentielle, vu que f(x) = f'(x) = ex pour tout réel x, il apparaît immédiatement que, pour tout x :

Rn(x) > 0 et : Rn(x) - R'n(x) = - xn/n!

Nous somme en présence d'une équation différentielle linéaire du 1er ordre avec second membre :

y - y' = - xn/n!

La solution générale de l'équation homogène est y = Kex. Recherchons alors la solution générale en posant y = z.ex (méthode de la variation de la constante). En utilisant que eo = 1, on obtient facilement :

On sait (cf. encadrement élémentaire de e) que 2 < e < 3. Choisissons alors x = 1 et majorons Rn(1) en remarquant que sur l'intervalle [0,1] d'intégration, on a 0 e-t 1. Il vient :

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + Rn(1) avec 0 < Rn(1) < 3/(n + 1)!

Cette majoration du reste est très intéressante, voire indispensable : elle permet d'apprécier facilement l'erreur commise en tronquant le développement de e à l'ordre n.

On note en passant :

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n! + ...

Un autre calcul de majoration de l'erreur commise :

Programmation de la méthode en JavaScript
 

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function mac()
{
e=1 ; fac=1;
for(n=1;n<=30;n++)
{fac=fac*n ; e=e+1/fac ; er=3/fac/(n+1);
if (n%6==0)
{
if(!confirm("n = "+n+" e = "+e+"\n"+"erreur< "+er)) return
}
}
}
</SCRIPT>

 l'instruction n % 6 calcule le reste de la division euclidienne de n par 6 : on affiche les résultats partiels si n est multiple de 6.

  • if(!confirm(message) return exprime que si l'utilisateur clique sur le bouton "Annuler", le programme est arrêté.

  • D'une façon générale, en JavaScript , le ! exprime la négation

 fonctions mathématiques usuelles 

  

Il est illusoire de dépasser N = 18 car dès que Rn sera inférieur à 10-16, le calcul "piétinera", ce que confirme l'exécution du programme : l'ordinateur travaillant avec 16 décimales, la dernière n'est pas assurée (arrondi probable). D'ailleurs, un calcul plus précis montre que le dernier 5 est en fait un 2 :

e = 2,718 28 18 28 45 90 45 23536...

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