ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude de deux suites adjacentes doublement récurrentes        usage du tableur et de JavaScript      » voir aussi  #1 , #3 , Autres           niveau TerS/Sup

On considère les deux suites suivantes :

u_o = a², a > 0, v_o = b², b > 0, a ≠ b, u_n+1 = (u_n + v_n)/2 , v_n+1 = (u_nv_n)^½

1°/ i) Que dire du cas a = b ?       ii)  Prouver que l'on a u₁ > v₁ quel que soit le choix de a et b.

2°/ Prouver que pour tout n :  u_n+1 - v_n+1 = (√v_n - √u_n)². En déduire u_n+1 > v_n+1 pour tout n.

3°/ Déduire de 1° que la suite (v_n) est strictement croissante.

4°/ Déduire de même que la suite (u_n) est strictement décroissante.

5°/ Représenter les résultats précédents sur un axe. Justifier que les deux suites (u_n) et (v_n) sont convergentes et ont la même limite L : suites adjacentes.

6°/ Calculer L à 10^-6 près au moyen d'un programme de votre choix (tableur, Basic, Turbopascal, JavaScript, ...) lorsque a = 1 et b = 2.

1°/  i) si a = b, alors u₁ = u_o = a , v₁ = v_o = a : les deux suites sont stationnaires.  

     ii) u₁ = (a² + b²)/2 et v₁ = ab. D'où u₁ - v₁ = ½(a - b)². Donc u₁ > v₁ pour tous a et b, a ≠ b.

2°/ 2(u_n+1 - v_n+1) = u_n + v_n - 2√u_n√v_n) = (√u_n - √v_n)2 ≥ 0. On voit que l'on peut alors montrer très facilement (√u_n - √v_n)2 > 0 en procédant par récurrence. D'où u_n > v_n pour tout n au moins égal à 1.

3°/ Selon 2°, on peut majorer v_n par u_n dans l'expression de v_n+1, soit : v_n+1 = (u_nv_n)^½ > (v_nv_n)^½  = v_n. Par conséquent (v_n) est strictement croissante.

4°/ Selon 2°, on peut minorer u_n par v_n dans l'expression de u_n+1, soit : u_n+1 = (u_n + v_n)/2 < (u_n + u_n)/2  = u_n. Par conséquent (u_n) est strictement décroissante.

5°/ On a le schéma suivant correspondant à la situation :

La suite (u_n) décroît et est minorée par v1 : elle est donc convergente. La suite (v_n) croît et est majorée par u1 : elle est donc convergente. Soit alors L et L' les limites respectives de (u_n) et (v_n). Les convergences nous permettent d'écrire :

L = (L + L')/2    et    L' = (LL')^½

Ces deux égalités conduisent chacune à L = L'.

6°/  Calcul élémentaire sous Excel où l'on recopie autant que nécessaire vers le bas. La monotonie des suites permet d'arrêter la recopie dès que d(u) ou/et d(v) vérifient le critère :

les flèches ci-dessus pour signifier la recopie vers le bas

 ➔  On pourra construire un programme fonctionnel plus élaboré (usage des possibilités récursives du tableur Microsoft Excel)  : voir des exemples, en particulier la formule de Wallis dans sa version récursive.

Tant que (while) les Δu et Δv sont supérieurs à 10^-7, on continue, sinon, on "regarde" lequel vérifie la condition, ce qui fournit L que l'on l'arrondit à 10^-6 : pour ce faire : on multiple L par 10⁶, on ajoute 0,5 et on prend la partie entière, ce qui arrondit L × 10⁶ à 10^-6, et on redivise par 10⁶.   » arrondis