ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude de deux suites adjacentes doublement récurrentes
      
usage du tableur et de JavaScript       
voir aussi  #1 , #3 , Autres           niveau TerS/Sup

On considère les deux suites suivantes :

uo = a2, a > 0, vo = b2, b > 0, a b, un+1 = (un + vn)/2 , vn+1 = (unvn)½

1°/ i) Que dire du cas a = b ?       ii)  Prouver que l'on a u1 > v1 quel que soit le choix de a et b.

2°/ Prouver que pour tout n :  un+1 - vn+1 = (vn - un)2. En déduire un+1 > vn+1 pour tout n.

3°/ Déduire de 1° que la suite (vn) est strictement croissante.

4°/ Déduire de même que la suite (un) est strictement décroissante.

5°/ Représenter les résultats précédents sur un axe. Justifier que les deux suites (un) et (vn) sont convergentes et ont la même limite L : suites adjacentes.

6°/ Calculer L à 10-6 près au moyen d'un programme de votre choix (tableur, Basic, Turbopascal, JavaScript, ...) lorsque a = 1 et b = 2.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°/  i) si a = b, alors u1 = uo = a , v1 = vo = a : les deux suites sont stationnaires.  

     ii) u1 = (a2 + b2)/2 et v1 = ab. D'où u1 - v1 = ½(a - b)2. Donc u1 > v1 pour tous a et b, a b.

2°/ 2(un+1 - vn+1) = un + vn - 2unvn) = (un - vn)2 0. On voit que l'on peut alors montrer très facilement (un - vn)2 > 0 en procédant par récurrence. D'où un > vn pour tout n au moins égal à 1.

3°/ Selon 2°, on peut majorer vn par un dans l'expression de vn+1, soit : vn+1 = (unvn)½ > (vnvn)½  = vn. Par conséquent (vn) est strictement croissante.

4°/ Selon 2°, on peut minorer un par vn dans l'expression de un+1, soit : un+1 = (un + vn)/2 < (un + un)/2  = un. Par conséquent (un) est strictement décroissante.

5°/ On a le schéma suivant correspondant à la situation :

La suite (un) décroît et est minorée par v1 : elle est donc convergente. La suite (vn) croît et est majorée par u1 : elle est donc convergente. Soit alors L et L' les limites respectives de (un) et (vn). Les convergences nous permettent d'écrire :

L = (L + L')/2    et    L' = (LL')½

Ces deux égalités conduisent chacune à L = L'.

6°/  Calcul élémentaire sous Excel où l'on recopie autant que nécessaire vers le bas. La monotonie des suites permet d'arrêter la recopie dès que d(u) ou/et d(v) vérifient le critère :


les flèches ci-dessus pour signifier la recopie vers le bas

On pourra construire un programme fonctionnel plus élaboré (usage des possibilités récursives du tableur Microsoft Excel)  : voir des exemples, en particulier la formule de Wallis dans sa version récursive.

Voici un petit programme itératif en JavaScript "on line" !

Tant que (while) les Δu et Δv sont supérieurs à 10-7, on continue, sinon, on "regarde" lequel vérifie la condition, ce qui fournit L que l'on l'arrondit à 10-6 : pour ce faire : on multiple L par 106, on ajoute 0,5 et on prend la partie entière, ce qui arrondit L106 à 10-6, et on redivise par 106.   arrondis



<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
a=1;b=2
a=eval(prompt("Uo sera a². Entrez a :",a));if(a==null) {return}
b=eval(prompt("Vo sera b². Entrez b :",b));if(b==null) {return}
uo=a*a;vo=b*b;du=1;dv=1
while(du>=1e-7 && dv>=1e-7)
{
un=(uo+vo)/2;vn=Math.sqrt(uo*vo)
du=Math.abs(un-uo);dv=Math.abs(vn-vo);uo=un;vo=vn
}
if(du<1e-7){L=un} else {L=vn}
L=Math.floor(L*1e6+0.5)/1e6     
// arrondi à 0,000001 près
alert("La limite est L = "+L)
}
</SCRIPT>


© Serge Mehl - www.chronomath.com