ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une suite du type un = aun-1 + bun-2        niveau TerS/Sup

On considère la suite numérique :

uo = 2, u1 = 3, un = 4un-1 - 4un-2

1°/ Calculer u2 et u3.

2°/ On pose pour tout entier naturel n 2 : vn = un /2n. Montrer :

n 2, vn - vn-1 = vn-1 - vn-2

En déduire la nature de la suite (vn).

3°/ Exprimer vn en fonction de n. En déduire un en fonction de n et calculer u20.

4°/ Vérifier le calcul de u20 précédent au moyen d'un programme de votre choix sur calculatrice ou tableur (précisez sur votre copie les instructions du programme choisi).

Indications :   

1°/ On obtient u2 = u3 = 4

2°/  vn = un /2n équivaut à un = 2n vn. On reporte dans la relation de récurrence relative à la suite (un) :

un = 4un-1 - 4un-2    2n vn = 42n vn - 42n vn    vn= 2vn-1 - vn-2    vn - vn-1 = vn-1 - vn-2

La relation est vérifiée et prouve que la suite (vn) est arithmétique de raison -1/2 :

vn - vn-1 = vn-1 - vn-2 = vn-2 - vn-3 = ... = v2 - v1 = v1 - vo = u1/2 - uo/2 = 3/2 - 2/1 = -1/2

3°/  Si r est la raison de la suite (vn), on a vn = vo + nr, donc vn = 2 - n/2. On en déduit

un = 2n vn = 2n+1 -2n-1n = 2n(2 - n/2)

Donc :

u20 = 220(-8) = - 8 388 608

4°)  Programmes de calcul de u20 :

en JavaScript :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
{
uo=2;u1=3
n=1
while(n<20)
{
n=n+1 ; un=4*u1-4*uo ; uo=u1;u1=un
}
alert("u20 = "+un)
}
</SCRIPT>

sur Tableur (OpenOffice) :


© Serge Mehl - www.chronomath.com