Suite récurrente à 2 termes

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une suite du type u_n = au_n-1 + bu_n-2 niveau TerS/Sup

On considère la suite numérique :

u_o = 2, u₁ = 3, u_n = 4u_n-1 - 4u_n-2

1°/ Calculer u₂ et u₃.

2°/ On pose pour tout entier naturel n ≥ 2 : v_n = u_n /2ⁿ. Montrer :

∀ n ≥ 2, v_n - v_n-1 = v_n-1 - v_n-2

En déduire la nature de la suite (v_n).

3°/ Exprimer v_n en fonction de n. En déduire u_n en fonction de n et calculer u₂₀.

4°/ Vérifier le calcul de u₂₀ précédent au moyen d'un programme de votre choix sur calculatrice ou tableur (précisez sur votre copie les instructions du programme choisi).

Indications :

1°/ On obtient u₂ = u₃ = 4.

2°/ v_n = u_n /2ⁿ équivaut à u_n = 2ⁿ v_n. On reporte dans la relation de récurrence relative à la suite (u_n) :

u_n = 4u_n-1 - 4u_n-2⇔ 2ⁿ v_n = 4 × 2ⁿ v_n - 4 × 2ⁿ v_n⇔ v_n= 2v_n-1 - v_n-2⇔ v_n- v_n-1 = v_n-1 - v_n-2

La relation est vérifiée et prouve que la suite (v_n) est arithmétique de raison -1/2 :

v_n- v_n-1 = v_n-1 - v_n-2 = v_n-2 - v_n-₃ = ... = v₂ - v₁= v₁ - v_o= u₁/2 - u_o/2 = 3/2 - 2/1 = -1/2

3°/ Si r est la raison de la suite (v_n), on a v_n = v_o + nr, donc v_n = 2 - n/2. On en déduit :

u_n = 2ⁿ × v_n = 2ⁿ⁺¹ - 2^n-1 × n = 2ⁿ × (2 - n/2)

Donc :

u₂₀ = 2²⁰ × (-8) = - 8 388 608

4°) Programmes de calcul de u₂₀ :

en JavaScript :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
{
uo=2;u1=3
n=1
while(n<20)
{
n=n+1 ; un=4*u1-4*uo ; uo=u1;u1=un
}
alert("u20 = "+un)
}
</SCRIPT>

sur Tableur (OpenOffice) :