ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

COXETER Harold Scott MacDonald, anglais, 1907-2003

Sources biographiques :
 - Université de Toronto,
http://www.math.toronto.edu/coxeter/

 - Science.ca : http://www.science.ca/scientists/scientistprofile.php?pID=5

Harold Scott MacDonald Coxeter, dit Donald Coxeter fut, dès son plus jeune âge, un passionné de géométrie, capable d'imaginer et de visualiser en 3D des objets en 4 dimensions (tout comme le commun des mortels imagine un cube en contemplant sa perspective cavalière...), il exhibe à 19 ans, avec son ami d'enfance John Flinders Petrie, une catégorie de polyèdres non répertoriée.

Il obtint son doctorat à l'université de Cambridge (Some Contributions to the Theory of Regular Polytopes, 1931) et le compléta par deux années de recherches à Princeton avant d'accepter un poste (1936) à l'université de Toronto (Canada). Il y fera toute sa carrière.

John Flinders Petrie (1907-1972), instituteur, amateur de mathématiques, est le fils du célèbre égyptologue William Matthew Petrie (1853-1942). Ses recherches sur la géométrie des polyèdres est loin d'être négligeable. On pourra consulter The Coxeter Legacy.

Les travaux de Coxeter portent exclusivement sur la géométrie des polyèdres et des hyperpolyèdres (dimension supérieure à 3), plus précisément appelés polytopes, où il introduisit la théorie des groupes (groupes de Coxeter) et l'usage des graphes afin d'en obtenir la classification en étudiant leurs symétries.

C'est à lui que l'on doit (1930) la reconnaissance des travaux d'Alicia Boole Stott sur ce sujet.

  L'hypercube, perspective d'un cube 4D, vu par Coxeter.


Dans la même optique..., il s'intéressa (1933) également au concept des kaléidoscopes généralisé à 3 trois dimensions, voire en dimension quelconque. Coxeter fut l'ami du célèbre dessinateur et graveur hollandais M.C. Escher, amateur de représentations géométriques paradoxales.

Docteur honoris causa de plusieurs universités à travers le monde, Coxeter fut membre de la Société Royale du Canada et de Londres. Il reçut de nombreux prix dont le prix CRM-Fields 1995 créé au Canada en 1994.

Le kaléidoscope : du grec kalos = beau, eidos = forme, aspect et scopein = regarder. Ce jouet très en vogue dans la 1ère moitié du 20è siècle fut inventé au 19è siècle par le physicien écossais David Bewseter 1781-1868), inventeur de nombreux procédés (stéréoscopie, lentilles de phares). Constitué d'un tube opaque (carton, métal) contenant à une extrémité divers petits objets mobiles coloriés et translucides et de trois miroirs plans inclinés à 60°, il est fermé à l'autre extrémité par une lentille auprès de laquelle s'approche l'œil de l'observateur. Les objets se trouvent regroupés à l'intersection des miroirs et, par réflexion, on obtient une image composée de multiples symétries d'aspect esthétique variant suivant le mouvement donné au tube.

Kaléidoscope virtuel sur le site Permadi.com (déplacer le point rouge) :

Classification des polygones étoilés :

On doit à Coxeter la nomenclature des polygones étoilés (star polygons) au moyen de la notation {n/p} où n et p sont premiers entre eux : n points sont régulièrement espacés sur un cercle (on passe d'un point au point suivant par rotation d'angle 2p/n) et on relie par un segment de p en p pour former les côtés.

On parle souvent de polygone régulier étoilé, mais "régulier" est de trop dans cette locution. En joignant les sommets consécutifs d'un polygone étoilé, on obtient un polygone régulier convexe.


{10/3}                                   {9/2}                                      {7/3}                                      {13/5}

L'étoile de David, par exemple, composée de deux triangles équilatéraux s'échangeant par rotation d'angle p/3, échappe à cette nomenclature : elle correspondrait à {6/2} qui peut s'écrire 2 x {3/1}. C'est dire que la figure se referme après avoir tracé un 1er triangle équilatéral. Il faut repartir d'un point non utilisé pour terminer l'étoile.

D'une façon générale si pgcd(n,p) = k, on devra tracer k polygones réguliers convexes pour obtenir le polygone étoilé cherché.

Polyèdres uniformes :

A la suite des premières découvertes et travaux de Kepler, Poinsot, Catalan et Badoureau, Coxeter réussit à dénombrer les polyèdres semi-réguliers étoilés (1954) : dont les faces sont des polygones réguliers étoilés présentant en chaque sommet la même configuration.

Avec les 5 prismes pentagonaux comme le prisme pentagonal (2 bases pentagones réguliers et 5 faces carrées). On en dénombre 67 et si on ajoute les 13 polyèdres réguliers non étoilés, aussi appelés solides d'Archimède, on a au total 80 polyèdres semi-réguliers également dits uniformes. Ces polyèdres sont inscriptibles en ce sens qu'il existe une sphère contenant tous les sommets. Un de ses élèves, Norman W. johnson s'intéressera (1966) à classifier les polyèdres convexes à faces régulières (constituées par des polygones réguliers).

Visualisation des polyèdres uniformes :     

Par exemple sur le site d'Eric Weisstein en suivant ce lien. Cliquez, dans la liste, sur le nom du polyèdre désiré afin de le visualiser en 3D et faites-le tourner (possible pour la plupart).


Grand dodécahemidodécaèdre

   Polyèdres archimédiens , Polyèdres réguliers convexes , Polyèdres de Poinsot , Polyèdres de Johnson

Groupes de Coxeter, groupe diédral :

Dans le cadre de l'étude et de la classification des polyèdres, reconnaître leurs axes et plans de symétrie conduisant aux isométries susceptibles de les laisser globalement invariants sont la base de cette recherche.

On sait que dans le plan toute rotation peut se décomposer en produit de deux symétries axiales d'axes concourants. Dans l'espace, une rotation d'axe (d) se décomposera en produit de deux symétries par rapport à des plans sécants (réflexions) suivant (d). L'étude des axes de symétrie du cube, conduit à 48 isométries, dont 24 rotations laissant le cube globalement invariant.

Plus généralement, en dimension n, en appelant encore réflexion la symétrie par rapport à un hyperplan (dimension n - 1), on peut définir un groupe de Coxeter de façon élémentaire en tant que groupe engendré par des réflexions : plus précisément, il s'agira, pour la loi de composition des applications, des éléments de la forme r1 o r2 o ... rn où les ri sont des réflexions.

Polyèdres, cristaux, rotations et symétries du cube :

Cas du plan, groupe dièdral :   

Le groupe des isométries du plan laissant globalement invariant un polygone régulier convexe (P) à n côtés (n 3), de centre O, est appelé groupe diédral et généralement noté Dn.

Un sous-groupe cyclique de Dn est le groupe des n rotations de centre O, d'angles 2kπ/n. Il est engendré par la rotation R d'angle 2π/n.

Dans le plan complexe, en assimilant les sommets du polygone aux racines n-èmes de l'unité, soit A(1,0). La symétrie orthogonale S d'axe (OA) laisse (P) globalement invariant. On a S2 = Rn = id : S est involutive, R est involutive d'ordre n.


Avec les notations de la figure ci-dessus, on a : B = R(A) et C = S(B), (OI) médiatrice de [AB].
a/  i) Déterminer les images de O, A et C par S o R o S o R. En déduire que S o R est une symétrie axiale.
ii) Retrouver la même conclusion en utilisant un résultat sur les déplacements et antidéplacements du plan.
b/  Montrer qu'il en est de même de S o Rk (procéder par récurrence).
c/ Vérifier que S o R est la symétrie d'axe (OJ), médiatrice du côté [AC].           
d/  n étant au moins égal à 3, justifier que Dn est non commutatif .

Le groupe Dn est d'ordre 2n. Il est engendré par S et R. Ses éléments peuvent se ramener aux seules formes Rk et S o Rk, 0 k n-1 : Dn = {id, R, R2, ... Rn-1, S, S o R, S o R2, ... S o Rn-1}. Suivant la parité de n, Ak désignant les sommets du polygone, les axes des S o Rk  sont :


Dans le cas n = 2, on n'a plus de polygone... Considérons cependant encore S et la rotation de centre O d'angle 2π/n = π.
a/  Comparer R o S et R o S ainsi que S o R o R et R o S o R.
b/  Établir la table de Pythagore relative à  {id, S, R, S o R} muni de la loi o.
c/  En déduire que D2 est un groupe commutatif isomorphe au
groupe de Klein.


  Pour en savoir plus :

  1. Regular Polytopes par H. S. M. Coxeter (1931).
  2. The Beauty of Geometry par H. S. M. Coxeter (1968).
  3. Introduction to Geometry, H.S.M. Coxeter - Éd. Wiley, 1969. Ce livre est en ligne at this adress... dont The art of M.C. Escher (pages 37-), la 4ème dimenion (pages 207-).

  4. Redécouvrons la Géométrie (Geometry revisited), H.S.M. Coxeter et S.L Greitzer, Éd. Dunod ,1971.
  5. L'héritage de Coxeter (The Coxeter Legacy) sur Google Books (polytopes : page 107 et suivantes):
     
    http://books.google.com/books?id=cKpBGcqpspIC&printsec=frontcover&dq=The+coxeter+legacy&hl=fr
  6. Description de l'hypercube sur YouTube :
    #1 : Stéréogramme 3D de l'hypervucube :
    http://www.youtube.com/watch?v=LPLj7t1IVLk
    observer l'image brouillée en louchant progressivement et en vous rapprochant lentement de votre écran.
    #2 : http://www.youtube.com/watch?v=ccws454YiVM

    #3 : http://www.youtube.com/watch?v=2pRZCoWY6TU

  7. Générateur de polytopes : http://dogfeathers.com/java/hyperstar.html
  8. Simplexes et polytopes : http://www.dma.ens.fr/~debarre/Aussois.pdf
  9. Polytopes & géométrie algébrique : http://www.dma.ens.fr/~debarre/Colloquium.pdf
  10. Algèbres de Hopf et groupes de Coxeter : http://www.math.tamu.edu/~maguiar/monograph.pdf
  11. Un sujet de concours commun polytechnique filière MP, session 1999 portant sur les groupes de Coxeter :
    http://www.bankexam.fr/annales/817_CCP_1999_concours.pdf
  12. Étude complète du groupe diédral Dn : http://theoriedesgroupes.perso.sfr.fr/cours/Diedraux.pdf
  13. Une chronologie des polyèdres sur CultureMath :
     http://www.dma.ens.fr/culturemath/video/Dupas-polyedres/ Dupas-chrono.htm

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  Jean Paul Albert Badoureau (1853-1923), brillant polytechnicien (major de sa promotion), ingénieur des Mines (1877), classé premier. A publié en 1881 un mémoire sur les polyèdres semi-réguliers (qualificatif initié par Catalan), qu'il préféra qualifier simplement d'isocèles (côtés égaux). à Amiens, où il était en poste, Badoureau est également connu pour avoir, sur le plan scientifique, conseillé Jules Vernes dans l'écriture de ses romans.

On trouvera en ligne le très intéressant article de Sylvain Crovisier (mathématicien, université Paris 13) intitulé Badoureau à la recherches des polyèdres isocèles extrait de la revue Quadrature n° 66 (oct-déc. 2007). On pourra lire ici (lien externe) la biographie, signée de l'astrophysicien Jacques Crovisier (le père de Sylvain). Voir également (archives de l'École polytechnique : http://www.annales.org/archives/x/badoureau.html


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