ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Encadrements
niveau seconde
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indispensable |
Donner un encadrement d'un nombre x, c'est rechercher deux nombres a et b vérifiant la double inégalité : a < x < b; l'encadrement peut être large (≤) ou mixte comme dans cette relation : 2 < x ≤ 6.
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1. |
Les nombres a et b vérifient : -0,006 < a < -0,005 ; | 2 - b | < 3 x 10-4 On demande d'encadrer par des décimaux d'ordre 4 (quatre décimales) les nombres suivants : a - b , ab , a/b
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2. |
Les nombres a et
b vérifient : -2 < a < 3 ; 0,1 < b < 0,2 On demande d'encadrer le produit ab. |
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3. |
Encadrer le nombre x sachant que :
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4. |
Prouver que si | x - 2 | < 10-3 , alors | 1/x - 1/2 | < 3 × 10-4 |
Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››
| Solution : |
Encadrer une différence, un produit ou un quotient est source d'erreurs si on ne prend pas garde aux signes : une bonne recette est de se ramener à des nombres positifs en utilisant en particulier :
u < a < v ⇔ -v < - a < - u.
Afin d'encadrer une différence a - b, on encadre en fait a + (-b) : on ne "soustrait" pas des encadrements :
! si 3 < a < 5 et -2 < b < 3, il est FAUX d'écrire "par soustraction" : 5 < a - b < 2 !!! !
Remarquons aussi que :
si u et v sont strictement positifs : u < x < v ⇔ 1/v < 1/x < 1/u
un produit ab sera encadré par les produits minimum et maximum effectués sur les bornes de a et de b.
Dans le cas ci-dessus, on aurait : 0 < a - b < 7 , -10 < ab < 15 , a/b ne peut être encadré car 1/b n'est pas borné !
1. On établit tout d'abord :
-0,0003 < 2 - b < 0,0003
-2,0003 < -b < -1,9997
on a donc : 1,9997 < b < 2,0003 et -0,006 < a < -0,005
♦ a - b = a + (-b) : -2,0063 < a - b < -2,0047
♦ -0,0121 < ab < -0,0099 (encadrer d'abord -ab > 0 ou utiliser la remarque 2 et élargir l'encadrement à à 4 décimales)
♦
On encadre 1/b > 0 et - a > 0 : 0,005 < -a < 0,006; puis on
fait le produit : 0,005/2,0003 < -a/b < 0,006/1,9997.
D'où :
-0,0031 < a/b < -0,0024
2. On peut soit utiliser la remarque 2, soit séparer les cas : - 2 < a < 0 ou 0 < a < 3; on obtiendra : -0,4 < ab < 0,6.
3. On a : | x | + 0,01 < 0,1 ; c'est à dire | x | < 0,09 : -0,09 < x < 0,09.
4. On a 1/2,001 < 1/x <
1/1,999 ; puis : -0,000249... < 1/x - 1/2 < 0,00025...
En élargissant l'encadrement :
-0,0003 < 1/x - 1/2 < 0,0003 : c'est le résultat voulu.
