ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Encadrements         niveau seconde               indispensable

Donner un encadrement d'un nombre x, c'est rechercher deux nombres a et b vérifiant la double inégalité :  a x b; l'encadrement peut être strict (<), large () ou mixte comme dans cette relation : 2 x 6

1.

Les nombres a et b vérifient :

-0,006 < a < -0,005   ;   | 2 - b | < 3 x 10-4

On demande d'encadrer par des décimaux d'ordre 4 (quatre décimales) les nombres suivants :

a - b   ,   ab   ,   a/b

 

2.

 Les nombres a et b vérifient :

-2 < a < 3   ;   0,1 < b < 0,2

On demande d'encadrer le produit ab.

3.

Encadrer le nombre x sachant que :

4.

Prouver que si  | x - 2 | < 10-3 ,  alors  | 1/x - 1/2 | < 3 x 10-4
 

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Solution :

Encadrer une différence, un produit ou un quotient est source d'erreurs si on ne prend pas garde aux signes : une bonne recette est de se ramener à des nombres positifs en utilisant en particulier :

u < a < v    -v < - a < - u.

Afin d'encadrer une différence a - b, on encadre en fait a + (-b) : on ne "soustrait" pas des encadrements :

  si  3 < a < 5  et  -2 < b < 3, il est FAUX d'écrire "par soustraction" : 5 < a - b < 2 !!! 

Remarquons aussi que :

  1. si u et v sont strictement positifs : u < x < v    1/v < 1/x < 1/u

  2. un produit ab sera encadré par les produits minimum et maximum effectués sur les bornes de a et de b.

Dans le cas ci-dessus, on aurait : 0 < a - b < 7  ,   -10 < ab < 15  ,  a/b ne peut être encadré car 1/b n'est pas borné !

1.  On établit tout d'abord :

a - b = a + (-b) : -2,0063 < a - b < -2,0047

-0,0121 < ab < -0,0099    (encadrer d'abord -ab > 0 ou utiliser la remarque 2 et élargir l'encadrement à à 4 décimales)

On encadre 1/b > 0 et - a > 0 : 0,005 < -a < 0,006; puis on fait le produit : 0,005/2,0003 < -a/b < 0,006/1,9997.
   D'où :
-0,0031 < a/b < -0,0024

2.  On peut soit utiliser la remarque 2, soit séparer les cas : - 2 < a < 0  ou  0 < a < 3; on obtiendra : -0,4 < ab < 0,6.

3.  On a : | x | + 0,01 < 0,1 ; c'est à dire | x | < 0,09 : -0,09 < x < 0,09.

4.  On a 1/2,001 < 1/x < 1/1,999 ; puis : -0,000249... < 1/x - 1/2 < 0,00025...
En élargissant l'encadrement :

-0,0003 < 1/x - 1/2 < 0,0003 : c'est le résultat voulu.


© Serge Mehl - www.chronomath.com