ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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LINDENBAUM Adolph, polonais, 1904-1941

Lindenbaum étudia à Varsovie, sa ville natale où il fut un des étudiants de Sierpinski. Avec son professeur, il consacra sa trop courte carrière aux fondements des mathématiques et tout particulièrement à la rénovation de la logique mathématique suite aux insuffisances de la logique propositionnelle (issue de la philosophie aristotélicienne, Aristote) rencontrées avec la naissance et  l'usage de la théorie des ensembles de Cantor.

De confession juive, Lindenbaum ne put échapper aux exactions nazies lors de l'invasion de la Pologne dès le début de la seconde guerre mondiale. Déporté, il meurt dans un camp de concentration en Lituanie.

Algèbre de Lindenbaum, également dite de Lindenbaum-Tarski :

Rappelons qu'une tautologie est une proposition vraie quelle que soient la véracité ou la fausseté des propositions élémentaires (on dit aussi atomiques) qui la composent.

Ceci étant, on considère l'ensemble des énoncés susceptibles d'être construits au moyen d'un ensemble initial (non vide) de propositions au moyen des connecteurs logiques fondamentaux ET, OU et de la négation ( logique d'Aristote). Soit la relation binaire définie dans par :

A B si et seulement si la proposition (A B) est une tautologie

Cette relation est une relation d'équivalence. On munit l'ensemble quotient = /, ensemble des classes d'équivalence pour la relation , des lois induites (ET, OU, négation). Cet ensemble consiste à considérer l'équivalence logique comme l'égalité : on y écrirait A = B plutôt que A B. Il s'agit d'une algèbre de Boole, appelée algèbre de Lindenbaum.

Dans cette algèbre, l'implication logique s'avère une relation d'ordre (réflexive, antisymétrique et transitive). On remarque qu'elle coïncide avec l'ordre x y si et seulement si  x * y = x des algèbres de Boole, se traduisant ici par :

AB   ssi   A ET B = A        ( au sens des ensembles A ssi  AB = A)

Par lois induites, on entend comme à l'habitude le prolongement, avec les mêmes notations pour simplifier le langage, de l'usage de ces lois aux classes d'équivalence : concernant par exemple la loi ET, si A' et B' sont deux éléments de /, de représentants respectifs A et B, alors A' ET B' est la classe de A ET B. Ceci n'a de sens que si A' ET B' ne dépend pas des représentants A et B choisis. Ce qui est ici manifestement le cas.

Théorème :     

Toute algèbre de  Lindenbaum est isomorphe à son espace de Stone

  Stone , Tarski , Henkin

  Pour en savoir plus :


Hurewicz  Whitehead J. H.
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