ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
LINDENBAUM Adolph, polonais, 1904-1941 |
Lindenbaum étudia à Varsovie, sa ville
natale où il fut un des étudiants de Sierpinski.
Avec son professeur, il consacra sa trop courte carrière aux
fondements des mathématiques et tout
particulièrement à la rénovation de la logique mathématique suite aux
insuffisances de la logique propositionnelle (issue de la philosophie
aristotélicienne, 
Aristote) rencontrées avec la naissance et
l'usage de la théorie des ensembles de Cantor.
De confession juive, Lindenbaum ne put échapper aux exactions nazies lors de l'invasion de la Pologne dès le début de la seconde guerre mondiale. Déporté, il meurt dans un camp de concentration en Lituanie.
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Rappelons qu'une tautologie est une proposition vraie quelle que soient la véracité ou la fausseté des propositions élémentaires (on dit aussi atomiques) qui la composent.
Ceci étant, on considère l'ensemble
des énoncés
susceptibles d'être construits au moyen d'un ensemble initial (non vide)
de propositions
au moyen des connecteurs logiques fondamentaux ET,
OU et de la négation (
logique d'Aristote). Soit
la relation
binaire définie dans
par :
A
B si et
seulement si la proposition (A
B) est une
tautologie
Cette relation est une
relation d'équivalence. On munit l'ensemble quotient
=
/,
ensemble des classes d'équivalence pour la relation
, des lois
induites (ET, OU, négation).
Cet ensemble consiste à considérer l'équivalence logique comme l'égalité : on y
écrirait A = B plutôt que A
B. Il s'agit
d'une algèbre de Boole, appelée
algèbre de Lindenbaum.
Dans cette algèbre, l'implication logique
s'avère une relation d'ordre (réflexive,
antisymétrique et transitive). On remarque qu'elle coïncide avec l'ordre x
y si
et seulement si x * y = x des algèbres de Boole,
se traduisant ici par :
A
B
ssi A ET B = A
(
au sens des ensembles A
ssi A
B
= A)
Par
lois induites, on entend comme à l'habitude le prolongement, avec les mêmes
notations pour simplifier le langage, de l'usage de ces lois aux classes
d'équivalence : concernant par exemple la loi ET, si A' et
B' sont deux éléments de 
/
,
de représentants respectifs A et B, alors A' ET B' est la
classe de A ET B. Ceci n'a de sens que si A'
ET B' ne dépend pas des représentants A et B choisis. Ce
qui est ici manifestement le cas.
Théorème :
Toute algèbre de Lindenbaum est isomorphe à son espace de Stone
Pour en savoir
plus :
Whitehead
J. H.
Algèbre de Lindenbaum, également dite de
Lindenbaum-Tarski