ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Conservation du birapport par projection centrale     Propriété d'un faisceau harmonique de droites concourantes

 A l'instar de Möbius et de Chasles, il s'agit ici de prouver que le birapport de quatre points se conserve par projection centrale :

Afin d'alléger la figure, supprimons l'épure de (P). Traçons maintenant par J et J' (en vert ci-dessous), les parallèles à (OI); elles coupent respectivement (OB) et (OA) en B" et A" d'une part, B''' et A''' d'autre part.

Nous allons appliquer la propriété de Thalès un certain nombre de fois... :

On a :

En multipliant membre à membre, le membre de gauche alors obtenu s'écrit comme le birapport [I,J,A,B] :

De même, en considérant cette fois le birapport [I',J',A',B'] :

Mais on a encore une configuration de Thalès :

Les deux derniers rapports expriment l'égalité des birapports  [I,J,A,B]  et  [I',J',A',B']. C.Q.F.D.

Cas d'un faisceau harmonique de droites concourantes :    

Ce résultat fondamental s'applique à un faisceau harmonique de droites concourantes en O, c'est à dire lorsque [A,B,I,J] = -1, autrement dit lorsque I et J divise harmoniquement le segment [AB] :

Si un faisceau harmonique O(A,B ,I ,J) rencontre une droite (d), elle détermine sur celle celle-ci une division harmonique [A',B',I',J'].