ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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SOBOLEV Sergueï Lvovitch, russe, 1908-1989

Un des grands mathématiciens et physiciens atomiques russes de l'époque soviétique (URSS). Professeur à l'université de Moscou, il dirigea également l'Institut de mathématiques de l'université de Novossibirsk (Sibérie).

Spécialiste en équations différentielles appliquées aux sciences physiques, Sobolev introduit, dès 1934, la notion de dérivée généralisée également dite faible, afin de mieux appréhender les phénomènes physiques.

Le concept de fonction, initiée par Leibniz, s'avérait insuffisant dans la recherche des solutions d'équations aux dérivées partielles (comme le problème de Dirichlet) : il est ainsi à l'origine de la théorie des distributions développée par son compatriote Israël Guelfand et le français Laurent Schwartz.

Dérivée faible (ou généralisée, ou au sens de L2) d'une fonction sur un intervalle :

Soit J un intervalle ouvert de R (non nécessairement borné) et f une fonction de carré intégrable sur J, élément de L2(J). On suppose qu'il existe φ de carré intégrable sur J telle que  :

             espaces Lp

où a est un réel donné de J. On dit que φ est la dérivée faible de f sur J. Dans ces conditions, φ est unique, f est continue et sera constante ssi φ est nulle (ces propriétés s'entendent presque partout).

Si φ est continue, f apparaît comme la primitive de φ nulle en x = a et φ est une dérivée au sens usuel.
Dans les hypothèses de la définition, l'inégalité de Hölder (équivalente ici à celle de Cauchy-Schwarz) assure l'existence de l'intégrale de φ1[a,x] sur l'intervalle [a,x].

L'inégalité de  Cauchy-Schwarz) appliquée à |f(xo + h) - f(xo)|, module de l'intégrale de φ1[xo , xo+h] sur l'intervalle [xo , xo + h] assure la continuité de f. La nullité de φ pour f constante est plus subtile : si f est constante, on a f(x) = f(x') pour tous x et x' de J. Par suite, l'intégrale de φ sur [x,x'] est nulle et elle peut s'écrire dans l'espace de Hilbert L2(J) :

φ est donc orthogonale à toute fonction en escalier de J; or l'ensemble de ces fonctions est dense dans L2(J). Dans cet espace métrique engendré par sa norme ||  ||2, on peut écrire qu'il existe une suite (en) de fonctions en escalier tendant vers φ au sens de ||  ||2 :

0 = lim  || φ - en ||22 = lim ( || φ ||22 + || en ||22 - 2<φ ,en >) = lim ( || φ ||22 + || en ||22)

 || φ ||2 est donc nécessairement nul, donc (la classe de) φ est nulle.

Un ensemble de Sobolev dans Lp(J) est un ensemble de fonctions de Lp(J) admettant une dérivée faible dans cet espace.


 Pour en savoir plus :

  1. Espaces de Sobolev, par Pierre Bérard, Institut Fourier
    https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard/E/MEDP-0102/medp-sobolev.pdf

  2. Espaces de Sobolev : http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/maitine/MASTER1/probleme.pdf,
    page de Maïtine Bergounioux (professeur Univ. Orléans).

  3. Méthodes mathématiques pour les sciences physiques (niveau master), par Laurent Schwartz, Ed. Hermann, Paris, 1965

  4. Intégration & Analyse hilbertienne, A. Guichardet , Éd. Ellipses X École polytechnique, Paris, 1989


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