Nombres amicaux

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres amicaux selon Nicomaque & Thabit ben Q'ra » Nombres quasi-amicaux

Deux nombres entiers distincts sont dits amicaux (ou amiables) si la somme des diviseurs propres de l'un (diviseurs autres que lui-même) égale l'autre.

» Autrefois, un diviseur propre était appelé partie aliquote d'un nombre, du latin aliquot = nombre entier de fois, un certain nombre de). Une partie aliquote commune désignait alors un diviseur commun.

Il est clair qu'un nombre parfait est amical avec lui-même : on pourrait le qualifier de narcissique... Le premier couple de nombres distincts amicaux est (220,284) :

Somme des diviseurs de 220 : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Somme des diviseurs de 284 : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Programmation de l'algorithme en JavaScript :

Ce petit programme, rudimentaire mais efficace, recherche les couples (a,b) de nombres amicaux sous la condition a ≤ b pour éviter des répétitions inutiles comme (220,284) et (284,220).

Rappel : l'instruction a%d retourne le reste de la division de a par d : si a%d = 0, alors d divise a.

! Attention, Achtung, Atención, Attenzione !
Au-delà du couple (1184,1210) les temps de calcul peuvent être (très) longs suivant la machine utilisée!

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function go()
{
for(a=2;a<=20000;a++)
{
sa=1;
for(d=2;d<=a-2;d++) {if (a%d==0) sa=sa+d}
b=sa ; sb=1;
for(d=2;d<=b-2;d++) {if (b%d==0) sb=sb+d}
if (sb==a && a<=b)
{if(!confirm(a+" et "+b+" sont amicaux")) return};
}
}
</SCRIPT>

On trouve rapidement :

(6,6), (28,28) , (220,284), (1184,1210);
Puis, en patientant un peu... : (2620,2924), (5020,5564);

Cherchez les autres avec beaucoup de patience, comme (17296,18416) que Pierre de Fermat trouva...

♦ Nombres quasi-amicaux :

Si, selon la coutume, on note σ(n) la somme de tous les diviseurs d'un nombre n (donc y compris n), la définition de deux nombres amicaux n et p devient alors :

n et p sont amicaux ⇔ σ(n) = σ(p) = n + p

Avec cette notation, deux nombres n et p seront quasi-amicaux lorsque σ(n) = σ(p) = n + p + 1. Il en est ainsi, par exemple, de 48 et 75. On pourra établir un programme JavaScript semblable à ci-dessus, afin d'en calculer d'autres comme 1575 et 1648

Nombres quasi-parfaits : » Un résultat de Thabit ben Q'ra : »