ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GOHIERRE de LONGCHAMPS Gaston, français, 1842-1906

Ancien élève de l'École Normale supérieure, agrégé de mathématiques, professeur de mathématiques spéciales à Poitiers, Mont-de-Marsan et au lycée Charlemagne (Paris). Ami de Lucas et de Hermite avec lesquels il collabore sur de nombreux sujets dans diverses publications : théorie des nombres, intégrales eulériennes, courbes algébriques.

De Longchamps fonda (1880) une revue réputée : le Journal de Mathématiques spéciales dans laquelle il publia nombre de ses recherches, à distinguer du Journal de Mathématiques élémentaires (1876) et de la Revue de Mathématiques spéciales (1890), édités par les éditions H. Vuibert. Ci-dessous, un extrait d'un article de Gohierre de Longchamps relatif à la trisectrice de Maclaurin :

On doit à Gohierre de Longchamps la paternité de nombreuses courbes planes définies géométriquement et appellations s'y rattachant  (lieux géométriques dits, depuis les années 1970, ensemble de points).

Un autre exemple, le bicorne :

Par ailleurs, la fin du 19è siècle montre un intérêt immodéré pour la géométrie du triangle, principalement à l'usage des élèves de mathématiques supérieures et spéciales. Gohierre de Longchamps a ainsi donné son nom à de nombreux résultats sur le sujet. En particulier :

Cercle de (de) Longchamps :

Soit un triangle ABC; traçons les cercles (a), (b) et (c), de centres respectifs A, B et C et dont les rayons sont les mesures des côtés opposés. Si le centre radical ω de ces cercles existe et leur est extérieur, alors il existe un cercle orthogonal à ces trois cercles appelé cercle de Longchamps; son centre est ω, dit point de Longchamps, symétrique de l'orthocentre H par rapport au centre O du cercle circonscrit au triangle ABC.

Ce cercle passe par les points de contact des tangentes issues de ω aux trois cercles (a), (b), (c); son rayon est le diamètre du cercle polaire du triangle ABC.

 Rappelons que l'axe radical de deux cercles est la droite, ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles. Étant donné trois cercles, le centre radical ω, s'il existe, est le point d'intersection des axes radicaux des cercles pris deux à deux.

Les trois segments de tangente que l'on peut mener de ω à ces trois cercles ont même mesure : c'est le rayon du cercle radical. Le cercle de Longchamps est également orthogonal aux cercles centrés en les pieds des médianes ayant pour rayons les médianes correspondantes.

Trisectrice de (de) Longchamps :

C'est un cas particulier d'épispirale, inverse de pôle O d'une rosace de Grandi qui serait ici un simple trifolium. Son équation polaire est de la forme r = a/cos3t.


la courbe r = 2/cos3t vue par GraphMathica

Les asymptotes ont pour équation y = ± x/3 et x = -2/3. Pour cette dernière, obtenue lorsque t = 3π/2, y est infini mais x = r.cost = 2cost/cos3t = 2/(4cos2t - 3) -2/3.

La courbe r = a/cos(3t) étant tracée dans le 1er quadrant, soit M un de ses points d'angle polaire t. Traçons le cercle de rayon a et la tangente [OT) comme illustrés ci-dessous.

Le triangle OMT est rectangle en T; on a : MT = OMcos^OMT, soit a = a/cos(3t) x cos^OMT. C'est dire que ^OMT = 3t. Ainsi, un angle de mesure α étant donné (inférieur à 90°), on place un gabarit triangulaire droit OMT tel que ^OMT = α et MT = a, O à l'origine, M sur la courbe. L'angle ^xOM réalise alors la trisection de α.

En écrivant que cos3t = ar, soit 4cos3t - 3cost = a/r, c'est à dire 4x3/r3 = (3x + a)/r vu que x = r.cost et x2 + y2 = r2, on obtient l'équation cartésienne de la trisectrice. C'est une cubique :

4x3 - (x2 + y2)(3x + a) = 0

On peut alors facilement exprimer y en fonction de x :

Enfin, la courbe est également unicursale (elle admet une représentation paramétrée) : on a y/x = tan t; on pose alors tan t = u; sachant que dans ce changement de variable 1/cos2t = 1 + tan2t = 1 + u2, on a immédiatement :

Un calcul de π :

Dans un article publié dans les annales de l'ÉNS, Sur les intégrales eulériennes de seconde espèce (1880), G. de Longchamps exhibe un calcul de π/2 :

Programmation de l'algorithme en JavaScript :

Entrez nmax au moins (par défaut 100). Quelques résultats produits par le programme :

  Notons que l'absence, dans le programme, de critères relatifs au contrôle d'erreurs d'arrondis nuit à la crédibilité des calculs. Facile de calculer π quand on connaît déjà sa valeur à 10-n près, n quasiment arbitrairement grand...




<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>

{
nmax=100;
pi=1;
Un=1+1/3;
nmax=eval(prompt("Entrez n :",nmax))
for(n=2;n<=nmax;n++) {Un=Un*n/(2*n+1)}
pi=pi+Un;
alert("pi = "+pi)
}

</SCRIPT>


Autres travaux :

En arithmétique, G. de Longchamps étudia la primarité des nombres de la forme 2n ± 1 par une décomposition en base 2 dont on trouvera l'étude sur le site Gallica de la BNF (réf.3) :

Pour en savoir plus :

  1. COURBES GÉOMÉTRIQUES REMARQUABLES (COURBES SPÉCIALES) PLANES & GAUCHES
    H. Brocard et T. Lemoyne - 4 tomes, Librairie scientifique et technique Albert Blanchard - Paris 1919, Rééd. 1967.
    Épuisé depuis fort longtemps, ce fabuleux traité est très difficile à trouver. A consulter si possible dans les bibliothèques universitaires.
  2. Sur le site de la Numdam (Numérisation de documents anciens mathématiques) :
    http://www.numdam.org/search/Gohierre de Longchamps-q
  3. Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences (tome 85, juillet-décembre 1877) :
    Sur la décomposition en facteurs premiers des nombres 2n - 1
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30429/f945.item.r=Longchamps


Lie  Lucas
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