ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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MALTSEV (MALCEV) Anatoli Ivanovitch, russe, 1909-1967

Éléments biographiques : CDSB , European Mathematical Information Service (en russe). Portrait : Vladikavkaz Mathematical Journal (EMIS, avril 2009))

Ce mathématicien russe étudia à Moscou auprès de Kolmogorov et, dans le cadre de la refondation des mathématiques suite au bouleversement apporté par la théorie des ensembles et ses contradictions et l'axiome du choix, il consacra une grande partie de sa carrière à la logique mathématique qu'il appliquera à l'algèbre, théorie des groupes en particulier.

Après quelques années d'enseignement à Kazan, Maltsev est nommé à l'université de Moscou en 1944. Il est élu membre de l'Académie des sciences de l'URSS en 1958. L'année suivante, il s'installe à Novossibirsk (en Sibérie) où un institut de recherche en algèbre et logique algébrique est fondé sous sa direction.

Maltsev apporta une importante contribution à l'étude des groupes et algèbres de Lie et à l'algèbre homologique (Prix Staline 1953, Prix Lénine 1964). Malgré son isolement, cet éminent mathématicien de l'ère stalinienne s'est élevé au niveau des plus grands mathématiciens occidentaux de son époque et de sa génération comme Skolem, Tarski, Gödel, Henkin.

Dans sa première thèse de 1937, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik (Recherche au sujet de la logique mathématique), il énonce et démontre ce qui constituera un des résultats fondamentaux de la théorie des modèles développée par Tarski et Robinson.

Théorème de compacité (1936-37) :     

On peut exprimer ce théorème, dont la preuve repose sur le théorème de complétude de Gödel, sous la forme simplifiée suivante :

 Une théorie axiomatique T admet un modèle si et seulement si toute partie finie de T en admet un

La notion de modèle d'une théorie axiomatique :  »

Elles sont une généralisation des algèbres de Lie. On dit qu'une algèbre A sur un corps commutatif K est une algèbre de Maltsev pour signifier que :

• ∀ x∈A, x² = 0;
  En particulier (x + y)² = 0 entraine x × y = -y × x : une telle algèbre est anticommutative.
• ∀ x, y, z de A : (x × y) × (x × z) = [(x × y) × z] × x + [(y × z) × x] × x + [(z × x) × x] × y.
  C'est l'identité de Maltsev , propriété d'un produit vectoriel en dimension 7.

Produit vectoriel et identité de Jacobi :  »

Toute algèbre de Lie est une algèbre de Maltsev et  toute algèbre de Maltsev de dimension inférieure à 4 est une algèbre de Lie. Le second résultat est étudié en première référence ci-dessous.

 ➔  Pour en savoir plus :

• Algèbres de Maltsev, thèse de Akry koulibaly (Montpellier, 1995) :
  (pagination 1 à 5 : introduction, 6 : table des matières, 7 : généralités, ...)http://greenstone.lecames.org/collect/thefe/index/assoc/HASH26d6/2a96aabc.dir/CS_01183.pdf

• Théorie des modèles, Compacité, par Luck Darnière (univ. d'Angers) :
  http://math.univ-angers.fr/~darniere/ThMod.html

• Théorèmes de complétude, théorèmes de compacité par Elisabeth Bouscaren (Univ. Paris sud) :
  1. http://www.math.u-psud.fr/~bouscare/pub/Noteshyeres.pdf
  2. http://www.math.u-psud.fr/~bouscare/NOTESCOURS/03Notes0.pdf
  3. http://www.math.u-psud.fr/~bouscare/NOTESCOURS/03Notes4.pdf

• Produit vectoriel en dimension 7 : on pourra consulter la version française de la page Wikipedia abordant ce sujet :
  http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel_en_dimension_7

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Mac Lane  Romberg

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