ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Métrique de l'espace-temps de Minkowski & transformation de Lorentz  
          Petit saut introductif dans le monde de la physique : relativité, mécanique quantique

Cette page est consacrée à quelques résultats surprenants de la relativité restreinte. Théorie qui n'est en rien la spécialité de l'auteur de ces lignes. Raison pour laquelle aucun développement de cette théorie n'y est introduit. On y trouvera cependant matière à s'informer en consultant les liens sélectionnés in fine et proposés au cours de la lecture.

Dans le cadre de la relativité restreinte, les deux postulats fondamentaux d'Albert Einstein sont ( réf. 3) :

1/ Étant donnés deux systèmes de coordonnées en translation uniforme l'un par rapport à l'autre, les lois régissant les changements d'état des systèmes physiques restent les mêmes quel que soit le système de coordonnées auquel ces changements sont rapportés.

2/ la vitesse de la lumière émise par un corps au repos ou en mouvement est constante par rapport à tout référentiel galiléen.

Considérons un repère cartésien de référence R = (O, x, y, z) et un repère mobile R' = (O, x', y', z') dont les axes sont parallèles et supposé en mouvement rectiligne (translation) uniforme  selon (Ox) = (O,x'), de vitesse v. On convient qu'au temps t = 0, O et O' coïncident. Noter que relativement à R', le repère R est en mouvement rectiligne uniforme selon (O,x'), de vitesse -v.

Référentiel galiléen et principe d'inertie :

Formules de transformation de Galilée :    

En mécanique classique, celle de Galilée ou de Newton, on peut écrire les formules de transformation des coordonnées permettant de décrire un événement à l'instant t, considéré comme le même dans les deux repères  :

                 

L'expérience de Michelson-Morley a conduit à la constance de la célérité de la lumière quelle que soit la vitesse de sa source sans pour autant renoncer à l'éther, mystérieux fluide indéfini supposé transporter la lumière. L'absence de franges d'interférences dans cette expérience peut alors s'expliquer par une hypothèse audacieuse émise en 1889 par le physicien irlandais George Fitzgerald (1851-1901), puis, indépendamment par le hollandais Hendrik Lorentz (1853-1928) en 1892 :

Hypothèse de Fitzgerald-Lorentz :    

Un corps animé d'une vitesse v en mouvement rectiligne et uniforme subit, dans le sens de ce mouvement, une contraction de sa longueur dans le rapport :

     c (comme célérité), désignant la vitesse de la lumière (299 792 km/s)

Dans son cours de relativité restreinte, Jacques Gispert (univ. Aix-Marseille, réf. 4a, p.4-5) introduit fort simplement ce rapport en tant que coefficient de dilatation du temps pour un corps en mouvement rectiligne uniforme.

  George Francis Fitzgerald , Hendrik Antoon Lorentz sur WikipédiA

Formules de transformation de Lorentz-Poincaré :    

Les travaux de Lorentz relatifs à sa théorie des électrons le conduisent ensuite à conjecturer l'augmentation de la masse d'un corps en mouvement dans le même rapport et à énoncer ses formules de transformation (1899), que Poincaré validera en 1904 et qu'Einstein adoptera pour le développement de sa théorie de la relativité restreinte :

               

On remarque que lorsque v est nul, on retrouve alors les transformations de Galilée-Newton et si v est petit devant c, le rapport v2/c2 est proche de zéro et le radical proche de 1 : la correction est d'autant plus négligeable que v est petit devant c.

On voit que dans ces formules, la vitesse de la lumière apparait comme limite supérieure de tout objet se déplaçant dans l'univers car elles nécessitent c2 - v2 > 0, donc v < c.

Selon la coutume, on note β = v/c et γ = (1 - v2/c2) = (1 - β2). On a 0 β < 1  et 0 < γ 1.

Remarque :   

Avec les notations définies en début de page, considérons un rayon de lumière émis en O = O' au temps t = 0. Relativement à R, il se  propage de façon rectiligne à la vitesse c et atteint un point M(x, y, z) de l'espace au temps t de sorte que la distance euclidienne OM vérifie alors :

OM2 = c2t2 = x2 + y2 + z2

Relativement à R', en mouvement de translation selon (Ox) = (Ox'), selon les postulats de la relativité restreinte rappelés en début de page, on a également :

 O'M2 = c2t'2 = x'2 + y'2 + z'2

Ces égalités permettent d'établir facilement les formules de transformation de Lorentz comme le fait fort simplement Philippe Magne en justifiant par ailleurs la célèbre formule E = mc2 ( réf. 5).

Dilatation du temps :    

Si une horloge placée dans le repère R' en mouvement, une durée t'2 - t'1 observée dans ce repère correspondra dans le repère R à :

Autrement dit Δt = Δt'/γ > Δt' : pour un observateur placé dans R, la durée d'un phénomène se déroulant dans R' parait plus longue que celle ressentie par le voyageur dans R'... La montre de ce dernier retarde par rapport à l'observateur terrestre. Dilatation pour l'un, contraction pour l'autre : tout est relatif... Sauf le ds2... (voir plus bas).


Paradoxe des jumeaux sur YouTube

  Paul Langevin sur WikipédiA

Addition des vitesses :    

On apprend à l'école primaire que si deux véhicules circulent l'un vers l'autre, le premier à la vitesse v km/h, le second à la vitesse v' km/h, la distance qui les sépare diminue chaque heure de v + v'. En fait, compte tenu des transformations de Lorentz, on obtient plus exactement :

Ainsi, pour un observateur "au repos" observant deux rayons lumineux se propageant l'un vers l'autre, la vitesse relative n'est pas c + c mais (c + c)/(1 + 1) = c. Dur à accepter, mais c'est la réalité...

Espace-temps de Minkowski, continuum, Métrique de Minkowski :

La théorie de la relativité générale exprime en particulier que la masse, dont une des manifestations est la gravitation, courbe localement l'espace : ses géodésiques, chemins de longueurs minimales entre deux points, ne sont pas des droites au sens de la géométrie euclidienne. On ne peut parler d'espace sans parler de mesure, c'est à dire de longueur et de distance. On vient de voir que ces mesures sont également liées au temps. Au 19è siècle, Gauss et Riemann ont étudié la géométrie des surfaces et, en particulier, les possibilités d'y définir une métrique, c'est à dire une formulation de la distance entre deux points de cette surface. Pour y parvenir, il faut faire appel à la géométrie différentielle permettant de définir un élément différentiel de distance euclidienne entre deux points A et B infiniment proches d'une surface. Généralement noté ds, cet élément différentiel est une forme quadratique des différentielles des coordonnées et  peut permettre d'évaluer une "distance" entre A et B comme dans le problème de la rectification d'un arc de courbe gauche, on parle d'espace riemannien. C'est le cas de l'espace-temps de Minkowski qu'Einstein appela continuum à 4 dimensions pour signifier un univers où espace et temps sont indissociables.

En mécanique relativiste, dans un référentiel donné d'espace et de temps, les coordonnées d'un point M ne sont pas x, y, z et t. La coordonnée temporelle t doit être compatible avec les équations de Lorentz définies ci-dessus, cette contrainte conduit Minkowski à un univers de dimension 4, appelé espace-temps où tout point M(x1, x2, x3, x4), appelé point-événement, est déterminé par :

x1 = x , x2 = y , x3 = z , x4 = ict où i2 = -1, c désignant la vitesse de la lumière

Le vecteur de coordonnées (x , y , z , ict) est qualifié de quadrivecteur : quatre composantes spatiotemporelles, dont les trois premières sont spatiales et définissant le vecteur de position . On peut alors noter = (, ict).

Le ds2 d'espace-temps prend le nom d'intervalle d'espace-temps et vérifie à la manière d'un espace euclidien de dimension 4, une forme quadratique du type λ1dx12 + λ2dx22 + λ3dx32 + λ4dx42. Eu égard à la remarque précédente, Minkowski choisit :

ds2 =  c2dt2 - (dx2 + dy2 + dz2) = c2dt2 - dx2 - dy2 - dz2

Considérons maintenant un court laps de temps Δt correspondant à deux positions spatiales M(x, y, z) et M(x + Δx, y + Δy, z + Δz). On pose :

Δs2 = c2Δt2 - Δx2 - Δy2 - Δz2

Qu'advient-il de Δs2 lorsqu'il est évalué relativement à R' ? Seuls sont impactées les coordonnées en x et t. Il nous suffit de comparer c2Δt'2 - Δx'2 à c2Δt2 - Δx2. Avec les notations β = v/c et γ = (1 - v2/c2) = (1 - β2), on a :

c2Δt'2 - Δx'2 = c2[Δt - βΔx/c]22 - [Δx - vΔt]22
                  = c
22[Δt2 - β2Δx2/c2 - 2ΔtΔxβ/c] - [Δx2 + c2β2Δt2 - 2ΔtΔxβ/c]/γ2
                
    = (c2Δt2 - Δx2)(1 - β2)/γ2 = c2Δt2 - Δx2.

Δs2 est donc invariant par transformation de Lorentz :

En théorie de la relativité restreinte, dans un repère en mouvement rectiligne uniforme, le temps se dilate, les longueurs se contractent mais l'intervalle d'espace-temps est invariant.

  Pour en savoir plus :

1. La Relativité, par Albert Einstein, Éd. Petites bibliothèque Payot, Paris - 1956. Rééd. 1990
    Remarquable petit livre, très pédagogique écrit par Albert Einstein lui-même à l'intention des néophytes en 1916.

2. La Relativité par  Stamatia Mavridès, réédition 1995 - Que sais-je ?, n° 37, P.U.F.

3. Réflexions sur l'électrodynamique l'éther la géométrie et la relativité, par Albert Einstein.
   Éd. Gautier-Villars, Paris - 1972 (on le trouve d'occasion sur Amazon).

4. a/ Relativité restreinte par Jacques Gispert, univ. Aix-Marseille/ Labo astrophysique :
    https://astronomia.fr/6eme_partie/RelativiteRestreinte.php

    b/ Relativité générale par Jacques Gispert, univ. Aix-Marseille/ Labo astrophysique :
    https://astronomia.fr/6eme_partie/RelativiteGenerale.php

5. Transformation de Lorentz-Poincaré et E = mc2, par Philippe Magne :
    cosmologie.precise.free.fr/transformation_de_lorentz.doc

6. Espace, temps et gravitation, par Arthur S. Eddington, univ. Cambridge
    Préface de Paul Langevin, trad. J. Rossignol - Librairie Scientifique J. Hermann, 1921

7. La nature de l'espace et du temps, par Stephen Hawking et Roger Penrose
   Éditions NRF essais, Gallimard, traduction de The nature of space and time
   Princeton University Press, 1996.

8.  L'espace et le temps aujourd'hui par divers contributeurs, Éd. du Seuil.


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