ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Division polynomiale
   
division par x - a et asymptote oblique , PGCD , division suivant les puissances croissantes

I - Division suivant les puissances décroissantes   (division "euclidienne")     

Soit K[x] l'ensemble des polynômes de la variable réelle ou complexe x (K = R ou C). Muni de l'addition et de la multiplication des fonctions, ces polynômes constituent un anneau unitaire, U : x1 est neutre pour la multiplication, son élément nul, neutre pour l'addition est le polynôme nul, O : x0. Cet anneau est intègre : le produit de deux polynômes non nuls ne peut être nul à moins que l'un des deux soit nul.

Soit B un polynôme non nul, ont dit que A et C sont congrus modulo B pour exprimer qu'il existe un polynôme Q tel que : A - C = BQ, polynôme produit de B par Q.


Montrer que l'on définit ainsi une relation d'équivalence dans K[x]

Si A n'est pas multiple de B, la classe d'équivalence (ou de congruence) de A contient un unique polynôme R de degré strictement inférieur à B appelé reste de la division euclidienne de A par B, l'unique polynôme Q correspondant à R est le quotient de A par B. On a alors :

 A = BQ + R,  d°R < d°B

Unicité :        

Soit d le degré de B. Supposons qu'une classe contienne deux polynômes distincts R et S chacun de degré inférieur à d. On aura S - R = BQ. Si Q = 0, alors R = S. Si Q est non nul, S = R + BQ, donc d° S d°BQ d : contraire à l'hypothèse. Donc R est unique.

Existence :     

Si d°A < d, on pose R = A et c'est terminé !
Supposons A = a
nxn + ..., de degré n et B = bdxd + ..., de degré d, n d.
On pose Q1 = xn-da
n/bd et A - BQ1 = R1.

On a d°R1 < d°A.
Si d°R1 < d, c'est gagné : on prend R = R1.
Sinon on applique le procédé à R1, on obtient R2 = R1 - BQ2 avec d°R2 < d°R1.

Si d°R2 < d, c'est gagné, on prend R = R2.
Sinon, on poursuit le procédé, on obtiendrait un R3 avec d°R3 < d°R2, etc.

On obtient ainsi un algorithme semblable à celui de la division euclidienne dans N qui, au bout de n - d + 1 applications au plus du procédé conduit à un Rk de degré nul puisque Rk < d°Rk-1.

Il se peut que l'un des Rk soit nul. Dans ce cas l'algorithme s'arrête. On aura Rk-1 - BQk = Rk = 0, soit Rk-1 = BQk, puis Rk-2 - BQk-1 = Rk-1. Par conséquent Rk-2 = B(Qk-1 + Qk) : donc Rk-2 est multiple de B et finalement par récurrence finie A = BQ1, donc A multiple de B.

Les écritures successives précédentes des Rk montrent que au bout d'un nombre fini m d'applications du procédé, on a  :

A = B(Q1 + Q2 + ... + Qm) + Rm

Q = Q1 + Q2 + ... + Qm est le quotient de la division euclidienne de A par B, Rm en est le reste.

Exemple : Soit à diviser A = x3 + 2x2 -x - 2 par B = x2 + 1. On pose l'opération comme pour une division d'entiers :

PGCD de deux polynômes :

 On voit ainsi que l'on pourra parler de plus grand diviseur commun à deux polynômes (PGCD)  tout comme en arithmétique élémentaire.

On procèdera aux divisions successives de A par B, puis de B par le reste R, etc. Le dernier reste non nul sera le PGCD des polynômes A et B. Ce PGCD s'exprimera à une constante multiplicative près. Si le PGCD est une constante, A et B sont dits premiers entre eux.

Exemple : Soit P(x) = 2x3 - 11x2 +12x + 9. Calculer pgcd(P,P'), P' polynôme dérivé de P.
: d(x) = x - 3. On en déduit que P admet 3 comme racine double. Si le PGCD est une constante : alors P n'admet pas de racines multiples.

II - Division suivant les puissances croissantes        

Si nous ordonnons A et B suivant les puissances croissantes de la variable x (réelle ou complexe), on obtient un autre moyen de division fort utile dans la recherche de valeurs approchées de fonctions rationnelles et de développements limités asymptotiques d'une fonction (au voisinage d'un point où cette fonction n'est pas définie) comme, par exemple le développement limité de f(x) = 1/sin(x) au voisinage de 0 :

Théorème :    

Soit A et B deux polynômes, B ne s'annulant pas en 0. Alors pour tout entier p, il existe un unique polynôme Q et un unique polynôme R tels que :

A = BQ + xpR    avec d°Q < p

Le produit xpR est le reste de la division. Si A est divisible par B, R sera nul, sinon, la division peut se poursuivre indéfiniment.

Schéma de la démonstration :    

Écrivons A = ao +a1x + a2x2 + ... et B = bo + b1x + b2x2 + ... avec bo non nul. A et B sont donc ordonnés suivant les puissances croissantes de x. Si A contient xp en facteur, le résultat est trivial.

Supposons qu'il n'en soit pas ainsi. Soit qo le quotient de ao par bo; le polynôme A - qoB = Ro ne contient pas de terme constant. Si d°Ro p alors Q = qo et le reste est Ro.

Sinon, on réitère le procédé : si Ro = r1x + r2x2 + ... , on divise r1x par bo, on obtient un résultat de la forme Ro - q1B = R1 avec q1 = r1x/bo et on peut écrire A = B(qo + q1) + R1 avec d°R1 > d°Ro (car dans Ro - q1B le monôme de plus faible degré disparaît) à moins que R1 soit nul et le processus s'arrête.

Si r1 s'était avéré nul dans Ro, on aurait divisé le 1er monôme non nul de Ro par bo

On continue ainsi jusqu'à ce que Rk soit nul ou de degré au moins égal à p. On obtient alors une écriture du type :

A - B(qo + q1 + ... + qk) + Rk

Rk est multiple de xp, le quotient cherché est qo + q1 + ... + qk. On peut prouver (par l'absurde) son unicité.

La division de A par B suivant les puissances croissantes s'effectue de façon semblable à celle suivant les puissances décroissantes :

Exemple d'application :        

On sait développer sin x en série entière : sin x = x - x3/3! + x5/5! - ... Il suit que

sin (x)/x = 1 - x2/3! + x4/5! - ...

Le développement de 1/sin(x) pourra être obtenu en divisant par x celui de x/sin(x) = x1/sin(x). Divisons 1 (polynôme A) par B, le développement de sin (x)/x = 1 - x2/3! + x4/5! - ... =  1 - x2/6 + x4/120 :

Divisons par x :

1/sin(x) = 1/x + x/6 + 7x3/360 + ...

On retrouve que si x tend vers  0, on a 1/sin(x) équivalent à 1/x, c'est à dire sin(x) équivalent à x.


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