ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équation différentielle du 1er ordre et courbes intégrales #2    
   
#1 , #3 (chgt de variable)        voir aussi...

On considère l'équation différentielle du 1er ordre :

(e)        x2y' - y =  x2 - x + 1                  équations différentielles linéaires

1°) S'il existe des solutions polynomiales particulières de (e), quel est leur degré ? En déduire une solution particulière de (e)

2°) Donner la solution générale fk de l'équation (e).  Rép : fk(x) = ke-1/x + x - 1

Dans toute la suite, On suppose k non nul.

3°) Vérifier que les fk sont prolongeables par continuité à droite en 0 et étudier alors la dérivabilité des fk à droite en ce point.

4°) Montrer que les courbes intégrales Ck admettent une asymptote indépendante de k parallèle à l'axe des ordonnées ainsi qu'une asymptote parallèle à la droite d'équation y = x.

5°) Préciser le sens de variation de f1. Tracer C1 en vérifiant préalablement la présence d'un point d'inflexion.

Si vous séchez après avoir bien cherché : 


© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°) Soit y = P(x) une équation polynomiale de degré n. Le polynôme x2y' est alors de degré n + 1 et par conséquent n + 1 = 2, donc n = 1. On a alors y = ax + b et, par identification, on obtient a = 1, b = -1. Une solution particulière est donc y = x - 1.

2°) L'équation (e) est une équation différentielle linéaire du 1er ordre. On résout tout d'abord l'équation sans second membre x2y' - y = 0 fournissant y = k.e-1/x pour tout x non nul. La solution générale est donc :

fk(x) = k.e-1/x + x - 1, où k est une constante arbitraire

2°) Les courbes intégrales ont l'allure suivante : la courbe en cyan (bleu ciel) correspond à l'ensemble demandé en 3°.

3°) Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, -1/x tend - et par suite e-1/x tend vers 0. On peut donc prolonger les fk par continuité à droite en 0 par fk(0) = -1. Pour étudie la dérivabilité des fk  à droite en 0, on étudie le taux d'accroissement :

En posant X = 1/x tendant vers -, on voit que e-1/x/x = X/eX tend vers 0. Par suite les fk sont dérivables à droite en 0 et fk(0) = 1.

4°) Lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures, e-1/x tend vers l'infini, d'où la présence d'une asymptote "verticale" d'équation x = 0. Lorsque x tend vers ±, -1/x tend vers 0. Par suite k.e-1/x tend vers k, d'où la présence d'une asymptote "oblique" d'équation y = x + k - 1, parallèle à la droite d'équation y = x.

5°) f1'(x) = (1/x2).e-1/x + 1 > 0. La fonction  est donc strictement croissante sur R*- et R*+. f1''(x) = (-2/x3 + 1/x4).e-1/x est du signe de 1 - 2x et s'annule en x = 1/2 : présence d'un point d'inflexion.


© Serge Mehl - www.chronomath.com