ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équation différentielle du 1er ordre et courbes intégrales #2         » #1 , #3 (chgt de variable)      » voir aussi...

On considère l'équation différentielle du 1er ordre :

(e)        x²y' - y =  x² - x + 1                  » équations différentielles linéaires

1°) S'il existe des solutions polynomiales particulières de (e), quel est leur degré ? En déduire une solution particulière de (e)

2°) Donner la solution générale f_k de l'équation (e).  Rép : f_k(x) = ke^-1/x + x - 1

 ➔  Dans toute la suite, On suppose k non nul.

3°) Vérifier que les f_k sont prolongeables par continuité à droite en 0 et étudier alors la dérivabilité des f_k à droite en ce point.

4°) Montrer que les courbes intégrales C_k admettent une asymptote indépendante de k parallèle à l'axe des ordonnées ainsi qu'une asymptote parallèle à la droite d'équation y = x.

5°) Préciser le sens de variation de f₁. Tracer C₁ en vérifiant préalablement la présence d'un point d'inflexion.

1°) Soit y = P(x) une équation polynomiale de degré n. Le polynôme x²y' est alors de degré n + 1 et par conséquent n + 1 = 2, donc n = 1. On a alors y = ax + b et, par identification, on obtient a = 1, b = -1. Une solution particulière est donc y = x - 1.

2°) L'équation (e) est une équation différentielle linéaire du 1er ordre. On résout tout d'abord l'équation sans second membre x²y' - y = 0 fournissant y = k.e^-1/x pour tout x non nul. La solution générale est donc :

f_k(x) = k.e^-1/x + x - 1, où k est une constante arbitraire

2°) Les courbes intégrales ont l'allure suivante : la courbe en cyan (bleu ciel) correspond à l'ensemble demandé en 3°.

3°) Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, -1/x tend -∞ et par suite e^-1/x tend vers 0. On peut donc prolonger les f_k par continuité à droite en 0 par f_k(0) = -1. Pour étudie la dérivabilité des f_k  à droite en 0, on étudie le taux d'accroissement :

En posant X = 1/x tendant vers -∞, on voit que e^-1/x/x = X/e^X tend vers 0. Par suite les f_k sont dérivables à droite en 0 et f_k(0) = 1.

4°) Lorsque x tend vers 0 par valeurs inférieures, e^-1/x tend vers l'infini, d'où la présence d'une asymptote "verticale" d'équation x = 0. Lorsque x tend vers ±∞, -1/x tend vers 0. Par suite k.e^-1/x tend vers k, d'où la présence d'une asymptote "oblique" d'équation y = x + k - 1, parallèle à la droite d'équation y = x.

5°) f₁'(x) = (1/x²⁾.e^-1/x + 1 > 0. La fonction est donc strictement croissante sur ]-∞,0[ et sur ]0,+∞[. f₁''(x) = (-2/x³ + 1/x⁴).e^-1/x est du signe de 1 - 2x et s'annule en x = 1/2 : présence d'un point d'inflexion.