Weddle Thomas

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WEDDLE Thomas, anglais, 1817-1853
» Source biographique : A budget of paradox, A. de Morgan.

Ce professeur de mathématiques exerça dans des établissements privés jusqu'en 1851, deux ans avant sa mort prématurée, où il est nommé à l'Académie militaire royale de Sandhurst (Angleterre, au sud de Londres).

On lui doit de nombreuses publications en géométrie dans le Cambridge and Dublin Mathematical Journal. Mais son nom est principalement associé à sa méthode d'intégration approché où il fait figure de pionnier en analyse numérique en recherchant des algorithmes pour le calcul des intégrales et la résolution approchée d'équations algébriques comme dans New Simple and general method of solving numerical equations of all orders (1842) consultable ici.

Intégration approchée selon Weddle :

La méthode d'intégration de Weddle sur un intervalle [a,b] est une méthode d'interpolation polynomiale de Newton-cotes à pas réguliers utilisant 7 points (degré 6). Peu efficace sur des fonctions dont la représentation graphique sur [a,b] garde une même concavité, elle permet un calcul exact pour un polynôme de d° 7.

Voici sans démonstration la formule pour 7 points a = x_o< x₁ < x₂ < ... < x₆ = b :

En conséquence, pour une intégration avec un grand nombre de points, en regroupant les points de la subdivision 7 par 7 :

(x_o = a, x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆)
(x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀, x₁₁, x₁₂)
...
(x_n-6, x_n-5, x_n-4, x_n-3 , x_n-2, , x_n-1,x_n= b)

On remarque que n doit être multiple de 6 et en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales, on obtient la formule générale (6k variant de 0 à n - 6) :

Programmation de la méthode en JavaScript

Pour tester ce programme vous devez entrer la fonction utilisée en utilisant une syntaxe comprise par le langage JavaScript . Cependant, l'instruction with (Math), placée en début de procédure, évite à l'utilisateur de préciser Math devant chaque fonction mathématique utilisée.

multiplication : * , division : /
racine carrée : sqrt(x)
puissance : pow(x,n). Pour x² ou x³, utiliser plutôt x*x et x*x*x
fonctions usuelles : sin(), cos(), tan(), atan(), abs(); log népérien : log() , exponentielle de base e : exp() , ...
pi (pour π) et e sont comprises par le programme

» fonctions mathématiques usuelles

Par défaut f(x) = 2x/(1+x²), a = 0, b = 3, n =90 : le programme calcule une approximation du logarithme népérien de 10 : 2,302585092994... L'ordinateur s'en sort fort bien avec ce résultat pour n = 99 : Integrale = 2.3025850925957156.

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
var fonc
var pi=3.141592653589793;
var e=2.7182818284590452;
function methwd()
{with (Math)
{
fonc="2*x/(1+x*x)";a=0 ; b=3 ; n=99;
fonc=prompt("Entrez votre fonction :",fonc);if (fonc==null) {return}
a=eval(prompt("Entrez a :",a));if (a==null) {return}
b=eval(prompt("Entrez b :",b));if (b==null) {return}
n=prompt("Nombre de points voulus = ",n);
if (n==null) {return} else {n =eval(n)};
r=n%6;n=ceil(n/6)*6; // multiple de 6 par excès
if (r!=0){alert("J'ai choisi n = "+n+ " (multiple de 6).")}
h=(b-a)/n; j=0;
for(i=1;i<=n-5;i=i+6)
{
x=a+i*h;
j=j+5*f(x)+f(x+h)+6*f(x+2*h)+f(x+3*h)+5*f(x+4*h)+2*f(x+5*h)
}
j=j+f(a)-f(b)
alert("Integrale = "+j*h*3/10)
}}
function f(x)
{
with(Math){
y=eval(fonc)
return y
}}
</SCRIPT>

Autres méthodes d'intégration : »

Briot

Joachimsthal