ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

FAREY John, anglais, 1766-1826

John Farey n'est pas un mathématicien mais un géologue dont le nom se retrouve dans une curiosité arithmétique liée aux fractions élémentaires, les suites de Farey, qui ont été étudiées sous une forme géométrique au 20è siècle par le mathématicien américain Lester R. Ford Sr (père) : cercles de Ford.

Suites de Farey (Bulletin de la Société philomatique, Paris, 1816) :

Si l'on écrit successivement, en ordre croissant, toutes les fractions irréductibles de l'intervalle [0,1] dont le dénominateur n'excède pas un entier donné, on observe une curieuse propriété :

  Pour deux fractions consécutives et , la différence des produits "en croix" bc - ad est toujours égale à 1.

  L'insertion de la fraction , obtenue en ajoutant entre eux les numérateurs et les dénominateurs de et , fournit une fraction vérifiant la propriété précédente et toujours comprise entre et .

Et notant Sn la suite associée à un entier n, cette dernière propriété permet alors de construire la suite Sn+1 en insérant les fractions tant que b + d ne dépasse pas n + 1 :

Considérons le cas n = 5 : afin de construire la suite, on écrit :

On obtient S6 par insertion :

Puis S7 :

etc.

Farey observa le phénomène mais reconnut ne pas en trouver d'explications. Il fut justifié par Cauchy. Lester R. Ford Sr, mathématicien américain, en donna une explication géométrique au siècle suivant.

Fractions unitaires (ou fractions égyptiennes) :

Pour en savoir plus :

  Charles Pisot                Hypothèse de Riemann :


Ruffini  Argand
© Serge Mehl - www.chronomath.com