ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

♦ Égalité de fractions :

Une fraction a/b représente une division non évaluée d'un entier a par un entier non nul b (» Oresme). Deux fractions seront dites égales si elles représentent le même quotient (résultat de la division).

 ➔  Rappelons que l'on réserve l'appellation écriture fractionnaire à une écriture x/y où x et y peuvent être non entiers. Il est alors correct d'écrire, par exemple, 5/4 = 2,5/2 mais cette dernière écriture n'est pas une fraction au sens strict du terme car 2,5 est non entier.

Il résulte des propriétés de la multiplication et de la division que :

• Si deux fractions égales ont le même dénominateur, alors elles ont le même numérateur. On peut écrire :

• Si l'on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre k, le quotient reste inchangé. En notation fractionnaire :

• Conséquence :

Deux fractions a/b et c/d sont égales si et seulement si les produits en croix ad et bc sont égaux.

♦  Addition et soustraction de fractions :

On ne peut ajouter (ou soustraire) que des fractions de même nature, c'est à dire de même dénominateur. Pour ce faire, on utilise la propriété remarquable rappelée ci-dessus :

On ne change pas la valeur d'une fraction si l'on multiplie (ou divise) ses termes par un même nombre

On cherche alors le plus petit multiple commun (PPMC) aux dénominateurs entrant en jeu :

 ➔  Rôle de 1 en calcul fractionnaire : l'unité joue un rôle particulièrement pratique; elle représente le tout : dans un partage en n parties égales, 1 = n/n.

• Si je dépense le quart de mon budget puis le dixième, que me reste-t-il en termes de fractions ? Rép. : 1 - 1/4 - 1/10 = 20/20 - 5/20 - 2/20 = 13/20.

• Variante : je dépense le quart de mon budget puis le dixième du reste. Quelle fraction de mon budget me reste-t-il alors ?  Rép. : 1 - 1/4 = 3/4. Après la 1ère dépense, le reste est 3/4. Le dixième du reste est 3/40. Il me reste donc 3/4 - 3/40 = 27/40.

♦ Multiplication d'une fraction par un entier n :

La notation  désigne l'addition réitérée, somme de n fractions égales à . La valeur numérique de la fraction est donc multipliée par n. C'est dire que :

♦ Division d'une fraction par un entier n :

 ➔  Rappelons tout d'abord que diviser, c'est multiplier par l'inverse :

• Par exemple : 5/4 = 5 x 1/4 = 5 × 0,25 = 1,25

Diviser une fraction par un nombre est l'opération inverse de la précédente. La valeur numérique de la fraction est divisée par n. Pour ce faire, on multiplie le dénominateur de la fraction par n :

 ➔   Numériquement, on peut tout aussi bien diviser a par n mais on n'obtient généralement plus une fraction. Pire, cette division peut aboutir à un quotient non décimal et inciter à des arrondis douteux ! Le cahier des charges est ici d'obtenir une fraction comme résultat. voici un cas légal... :

Prendre une fraction n/d d'une quantité Q c'est partager Q en d parts égales et en prendre n. Numériquement, cela consiste donc à diviser Q par d et multiplier le résultat par n. Il revient au même de multiplier n par Q et de diviser ensuite par d. En notation fractionnaire, on écrit alors :

∗∗∗ 
La facture du garagiste s'élève à 520 euros. J'en paye les 3/8 (trois huitièmes). Le reste sera payé en quatre mensualités. Quel en sera le montant ?
Rép : j'ai payé 65 euros. Il reste 455 euros. Le montant cherché en est le 1/4, soit 113,75 euros.  

Un pourcentage n'est autre qu'une écriture fractionnaire de dénominateur 100. Dépenser les 2/5 (deux cinquièmes) de sa fortune, c'est en dépenser 40/100, ce que l'on note 40% (quarante pour cent) :  en effet, 2/5 = 4/10 = 40/100.

Par suite, calculer t % d'une quantité Q, c'est prendre t/100 de Q. Donc, comme expliqué ci-dessus :

 ∗∗∗ 
1. Lors d'un référendum, sur 26 000 000 de suffrages exprimés, 52% ont voté "oui", 3% des votes ont été déclarés nuls.
Combien d'électeurs ont-ils voté non ?
Rép : 45% des suffrages exprimés correspondent à des "non", ce qui représente 11 700 000 électeurs (45 × 2600000/100)

2. Lors d'une vente promotionnelle, les téléviseurs d'une grande surface qui valaient 800 euros ont été soldés à 600 euros.
Quel fut le pourcentage de la solde ?
Rép : La solde fut de 200 euros pour 800, soit 2 pour 8, donc 1 euro pour 4. Or 1/4 = 25/100. La solde fut de 25%.

3. Romain dépense les trois cinquièmes de son argent de poche, puis la moitié du reste.
Quelle fraction de son argent a-t-il dépensée ? Il lui reste 12 €. Combien avait-il au départ ?
Rép : Si Romain dépense 3/5 de son argent, il lui en reste 2/5; la moitié de ce reste est 1/5. En tout, il a donc dépensé 3/5 + 1/5 = 4/5.
Ainsi, il lui reste 1/5 qui représente 12 €. 12 x 5 = 60. Romain avait 60 €

 ➔    Dans les situations bancaires, un taux d'intérêt est un pourcentage exprimant le montant de l'argent dû ou rapporté :

• Une épargne à 2,5% l'an rapporte 2,5 euros pour 100 euros placés pendant un an.

• Un emprunt à 5% sur 3 ans de N euros correspondra à un remboursement par mensualités pendant 36 mois de la somme (N + 5N/100)/36. 

Les problèmes d'intérêt ne sont pas toujours simples : on parle d'ailleurs d'intérêt simple et d'intérêt composé... De plus, ils ne sont pas toujours proportionnels aux sommes placées (calculs par tranches, plafonnement, abattement, primes de fidélité, etc.

Proportionnalité :  »              ∗∗∗  intérêt simple , intérêt composé

♦ Taux et pourcentage d'évolution, coefficient multiplicateur :

Si une population de N éléments (individus statistiques)  augmente de 5%, on parle de pourcentage (ou taux) d'évolution, N devient N + 5%N, soit 1,05 × N : le coefficient multiplicateur est 1,05.

Si au contraire, elle diminue de 5% elle deviendrait N - 5%N, soit (1 - 5/100) × N = 0,95) × N : le coefficient multiplicateur est 0,95.

Si p est le pourcentage d'évolution (positif ou négatif), le coefficient multiplicateur est 1 + p.

 !   On a tort de souvent confondre un taux et un pourcentage :  un taux peut être 0,4 : il correspond à 4/10 = 40/100, donc à un pourcentage (en fraction sur 100) de 40%. Si on dit qu'un pourcentage est de 0,4, alors il s'agit de 0,4%, donc de 0,4/100, soit un taux de 0,004 !

 ∗∗∗ 
1°/  Un pull à 24 euros est soldé à 30%. Quel est son nouveau prix ?   Rép : Le pourcentage d'évolution est ici -30% = -0,3. Le coefficient multiplicateur est ici 1 - 0,3 = 0,7. Le pull coute donc 16,8 euros.

♦ Indice d'évolution :       » voir aussi indice moyen

Dans les problèmes de statistique économique, on parle souvent d'indice d'évolution : on se donne une valeur de base, également dite de référence, et on calcule le coefficient multiplicateur par rapport à cette base ramenée à 100. Un exemple simple :

Dans une entreprise E, le chiffre d'affaire (en milliers d'euros) entre 2000 et 2003 est donné par le tableau suivant :

Si on ramène à 100 le chiffre d'affaires de l'an 2000, c'est que l'on divise par 520 : ce qui ramène à 1, et que l'on multiplie par 100. Les autres valeurs sont obtenues proportionnellement. On obtient alors les indices d'évolution de chaque année par la formule magique :

L'année de référence correspond à l'année 0. On obtient alors le tableau ci-dessous (à 0,1 près) :

∗∗∗
Dans cet exemple, l'année 2003 montre une chute du chiffre d'affaires.
1°/ Si on prend l'année 2002 comme année de référence, quel est l'indice de l'année 2003 ?
2°/ Quel est le coefficient multiplicateur de l'année 2000 à 2002 ?
3°/  Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de l'année 2000 à 2003
Rép : 1°/  88,2  (un indice peut être inférieur à 100)      2°/  1,308      3°/  15,4%

 ➔    Un pourcentage d'évolution (augmentation ou diminution) s'obtient à partir de l'indice d'évolution en lui retirant 100. Si le résultat est négatif, il s'agit d'une baisse égale à la valeur absolue du montant trouvé.

• Dans l'exemple ci-dessus, le chiffre d'affaires diminue entre 2002 et 2003. Il s'agit d'une baisse de 11,8% (par rapport à 2002). Cela reste une augmentation de 15,4% par rapport à 2000.

Les animations ci-dessous illustrent le principe de la multiplication de deux fractions. On montre que les 3/4 (trois quarts) de 2/5 (deux cinquièmes) correspondent à 6/20 (six vingtièmes), soit 3/10 (trois dixièmes). On écrit alors :

» L'animation ci-dessous montre que cela revient à prendre les 2/5 de 3/4 :

Règle : Le produit de deux fractions s'obtient en multipliant entre eux les numérateurs d'une part, les dénominateurs d'autre part. Ce produit est commutatif.

On peut retrouver ici que diviser par n consiste à multiplier par l'inverse de n : 

 ∗∗∗ 
La citerne de Pierre est remplie aux trois quarts de sa contenance. Cet hiver, il a consommé les deux tiers de cette quantité.
Quelle fraction de la contenance reste-t-il dans la citerne ?
Rép : 2/3 de 3/4 égale 6/12, soit 1/2. Or 3/4 - 1/2 = 1/4. Il reste un quart.

♦ Quotient de fractions :

Diviser une fraction a/b par la fraction c/d est l'opération inverse de la multiplication par c/d. Numériquement, diviser a par c revient à multiplier le dénominateur b par c et, diviser b par d revient à multiplier le numérateur a par d :

 ➔  Ainsi diviser par c/d c'est multiplier par d/c : on retrouve encore que diviser revient à multiplier par l'inverse.

 ∗∗∗ 
Les 3/8 de la fortune de Pierre sont exactement les 9/4 de celle de Paul.
Pierre est donc beaucoup plus riche que Paul. Combien de fois plus ?
Rép : Ramenons à 1 euro la fortune de Paul. Soit alors x celle de Pierre :  3/8 de x égale 9/4, donc x = 9/4 ÷ 3/8 = 72/12.
Pierre est 6 fois plus riche que Paul.

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♦ Pourcentage de pourcentage, évolutions successives :

Si, dans une population statistique de N éléments (individus statistiques), il y x% d'éléments ayant le caractère X dont y% ont également le caractère Y, alors il y a (» pourcentage) y% de Nx/100 éléments qui possèdent les deux caractères X et Y, c'est à dire :

 ➔    En termes de coefficients multiplicateurs, si une quantité subit deux ou plusieurs pourcentages d'évolution successifs, le coefficient résultant sera le produit des coefficients.

1°/  Dans une classe de Terminale STG, 40% sont des garçons et 40% des filles ont pris l'option informatique de gestion.
Quel pourcentage des élèves de la classe sont-ils des filles ayant pris cette option ?
Rép : le pourcentage de filles de la classe est 60% et 40% de ces 60% font 24%  (40/100 × 60/100 = 2400/100 = 24).
En termes de coefficient multiplicateur c, on pouvait écrire c = 0,6 × 0,4 = 0,24, soit 24%.

2°/ Lors des soldes, un commerçant affiche -20% de réduction. En fin de période, il solde encore de 30% les produits restants. La solde est-elle de 50% ?  Rép : non ! il s'agit là encore de pourcentages d'évolution successifs; le coefficient résultant est 0,8 × 0,7 = 0,56. Or 1 - 056 = 0,44 : la solde est de 44% sur les produits restants.

3°/ Une action en bourse a baissé de 5%. Quelle devrait être la hausse de la prochaine cotation afin qu'elle retrouve sa valeur avant la baisse ? 
Rép. : il s'agit d'évolutions successives. Le coefficient résultant doit être 1; le coefficient multiplicateur de la baisse est 0,95. Soit c le coefficient cherché  : t × 0,95 = 1, soit t = 1/0,95 ≅ 1,0526... : l'action retrouvera sa valeur avant la baisse si elle augmente de 5,26%.

4°/  Paul a placé 1000 € en épargne à 3% pendant 10 ans (chaque année, le capital placé augment de 3% : intérêt composé).
Quel est le montant de son capital à l'issue des 10 années ?
Rép : on est face à 10 évolutions successives de coefficient multiplicateur 1,03; le coefficient multiplicateur résultant est donc (1,03)¹⁰ ≅ 1,344.
Le capital est donc (sensiblement) 1344 €.

♦ Pourcentage (ou Taux) moyen d'évolution, Indice moyen d'évolution :

Reprenons l'exemple de l'entreprise E dont le chiffre d'affaire (en milliers d'euros) entre 2000 et 2003 est donné par le tableau suivant dont on avait précédemment calculé les indices d'évolution par rapport à l'année 2000 de référence :

Les indices et taux moyens d'évolution sont ceux qui correspondraient à une même évolution d'année en année aboutissant à l'indice (ou taux) final. Comme précédemment, les calculs se font facilement en termes de coefficients multiplicateurs. Dans l'exemple ci-dessus, le coefficient multiplicateur final est 1,154. Si t est le taux moyen d'évolution des années 2000 à 2004, on doit avoir (1 + t)³ = 1,154 (trois évolutions successives à taux constant) : 1 + t est la racine cubique de 1,154, soit 1 + t ≅ 1,0489.

L'indice moyen est donc 104,89, soit 104,9 à 0,1 près. Le taux moyen t est de 0,049, soit 4,9%.

 !   Par prudence, il est bon de vérifier... : on doit avoir, sensiblement 520 × (1,0489)³ = 600. Ce qui est vrai.

D'une façon générale si y = xⁿ, alors x = ⁿ√y, racine n-ème de y que l'on écrit aussi y^1/n afin de "coller" avec la règle des exposants :

(y^a)^b = y^ab , soit ici : (y^1/n)ⁿ = y^n/n = y¹ = y.

Voici un petit exo avec la racine onzième (puissance 1/11) :

 ∗∗∗ 
Le père de Paul dit que sa maison achetée 180 000 € en 1992 a été évaluée en 2003 à 432 000 €.
Quel est le coefficient multiplicateur ? Quel est le pourcentage annuel moyen d'élévation du prix ?
Rép : le coefficient multiplicateur est 432000/180000, soit 2,4. Onze ans se sont écoulés. Le pourcentage moyen p devra vérifier (1 + p)¹¹ = 2,4.
La calculatrice fournit 2.4^1/11 ≅ 1,0828, soit sensiblement 1,083.
On peut donc conclure que tout se passe comme si le prix de la maison avait augmenté de 8% par an pendant 11 ans.

» Voir intérêt composé , Bonus-Malus

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Exercices type Bac STG (Source Education nationale) : ..\base\exomaths-STG-2006.pdf