ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Calculer avec des fractions #3     niveau 4è/2nde  |  #1 : niveau 6è/4è | #2 : niveau 4è/2nde | sans fractions
   
Division et fraction, le piège des écritures...

Si l'écriture multiplicative :

ne présente aucune ambiguïté, il n'en est pas de même de :

Cette dernière écriture doit signifier 4 ÷ (2/5) = 4 ÷ 0,4 = 10 et surtout pas (4 ÷ 2)/5 = 2/5.

L'écriture fractionnaire a/b représente une division (un quotient) non effectué et iviser a par b (a ÷ b), c'est multiplier a par 1/b.

L'inverse d'une fraction a/b est la fraction b/a : au lieu d'écrire le quotient de a par b, on inverse le numérateur et le dénominateur et on obtient le quotient de b par a :

  On retient : diviser c'est multiplier par l'inverse :

Pire : que dire de 4 ÷ 2 ÷ 5 ? La règle usuelle selon laquelle, en l'absence de parenthèses, on effectue les calculs dans l'ordre d'écriture peut être appliquée. Donc, si on reprend l'exemple ci-dessus écrit sous la forme 4 ÷ 2/5, cela conduit à 2/5 et non plus à 10 !

Moralité :                    

En dehors de l'école primaire, dès qu'apparaît la notation fractionnaire, le signe de division (÷) ou le deux-points (comme 4 : 2 : 5) source d'erreurs tragiques, devraient être évités dans des calculs en chaîne.

Autre difficulté :           

Avec l'écriture fractionnaire usuelle, en cas de division, le professeur rappelle aux élèves de faire apparaître des barres de fraction de longueur différente : « 4 sur »  ne s'écrira pas , cette écriture n'a pas de sens car veut-elle signifier :

     ?

ou bien :

      ?

On retrouve, dans ce risque d'erreurs, celles faites par les élèves utilisant leur calculatrice sans trop connaître les règles de priorité : soit à calculer par exemple  : il s'agit de diviser 4 par le produit 3π, c'est à dire 4 divisé par 3, puis le résultat divisé par π : (4 ÷ 3) ÷ π.

Si l'on tape  4 ÷ 3π, on obtient :

Ce qui n'est pas le calcul proposé ! Il faut taper :

4 ÷ (3π) ou encore 4 ÷ 3 ÷ π

Une chance cependant avec les calculatrices récentes utilisées aujourd'hui au collège : les écritures 4 ÷ 3π ou encore 4 ÷ 32 conduisent au résultat voulu : les constructeurs ont en effet prévu que l'absence du signe multiplicatif dans ce type d'écriture rend prioritaire la multiplication implicite :

3π = 3π ,  32 = 32

et nombreux sont les élèves qui "font juste" en pensant faux... :

4 ÷ 3π et 4 ÷ 32 sont reconnus respectivement comme 4 ÷ (3π)  et  4 ÷ (32)

D'une façon générale, puisque diviser c'est multiplier par l'inverse :

diviser par x c'est multiplier par 1/x et diviser par x/y c'est multiplier par y/x

Application  :

La dernière égalité est pratique en cas d'usage de la calculatrice : dans le calcul précédent de , on tape 4 ÷ 3 ÷ π

Exemple final :   


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