ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Preuves diverses de résultats énoncés au fil des pages

Vous trouverez ici les preuves de propositions, théorèmes et conjectures formulés au fil des pages de ChronoMath, déplacés ici pour rendre plus visibles et plus synthétiques l'ensemble des résultats énoncés.

       Fraction continue :  si le nombre x étudié est rationnel, alors la suite des réduites est finie :

Soit x un rationnel donné sous sa forme irréductible a/b. On peut supposer x < 1 car dans le cas contraire, on ajoute E(x) à q1. Appliquons-lui le processus :

Dans notre cas, q1 = 0 et e1 = x = a/b. 1/e1 = b/a = q2 + e2 s'obtient par division euclidienne de b/a par a : écrivons b = aq2 + r2 avec 0 r2 a - 1, d'où e2 = r2/a. On obtiendra q3 et e3 en calculant 1/e2 = a/r2 par division euclidienne :

a = r2q3 + r3 avec 0 r3 r2 - 1 < r1

D'où 1/e2 = q3 + r3/a. Mais si r2 divise a, le reste est nul. en d'autres termes e3 = r3/a est nul et le processus s'arrête. Sinon on continue le processus en remarquant que la suite des restes est strictement décroissante dans N : on obtiendra un reste nul au bout d'un nombre fini de divisions (tout comme dans le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide) et le processus s'arrête.



       Fraction continue :  La suite des réduites  fn = an/bn , converge vers le nombre x étudié, les fn sont irréductibles et l'on a :

Exprimons x en fonction des an, bn et en. Au rang 2, on a x = q1 + 1/(q2 + e2) = (q1q2 + q1e2 + 1)/(q2 + e2) = (a2 + e2a1)/(b2 + e2b1). Il est tentant de formuler pour tout n 1 :

Lemme 1 :

      (h)

La formule est vraie pour n = 1 car elle fournit bien x = E(x) car ao = 1, a1 = E(x), bo = 0, b1 = 1 et e1 = x - E(x). Elle est donc vérifiée pour n = 1 et n = 2. Supposons-la vraie jusqu'à l'ordre n, n 2. Comme vu précédemment, pour passer à l'ordre n + 1 dans la fraction continue exprimant x, on voit qu'il suffit de remplacer en par 1/(qn+1 + en+1). En faisant cette substitution dans (h), on obtient précisément la formule au rang n + 1 eu égard aux formules an = qn.an-1 + an-2 et bn = qn.bn-1 + bn-2.

Nous avons maintenant besoin de trois lemmes complémentaires :

Lemme 2 :  Pour tout n de N*, an/bn - an-1/bn-1 = (-1)n/bn-1bn.

an/bn - an-1/bn-1 = (anbn-1 - an-1bn)/bn-1bn. Occupons-nous du numérateur en posant Δn = anbn-1 - an-1bn :
Δn = (qn.an-1 + an-2)bn-1 - an-1(qn.bn-1 + bn-2) = an-2bn-1 - an-1bn-2 = -(an-1bn-2 - an-2bn-1) = - Δn-1 .
Donc Δn = (-1)n-1Δ1 = (-1)n-2 =  (-1)n

  ce qui prouve le lemme 2 ainsi que la première partie de l'assertion selon laquelle an/bn est irréductible en application du théorème de Bézout.
 

Lemme 3 :  La suite (bn) est strictement croissante;

on a bo = 0, b1 = 1 > bo et la relation bn = qn.bn-1 + bn-2 confirme le résultat cherché (remarquer que qn est entier 1).

Lemme 4 : Pour tout n de N, bn ≥ n - 1;

C'est une conséquence immédiate du lemme précédent que l'on peut prouver par récurrence.
  Il est clair que la suite (an) des numérateurs est également croissante avec an n -1.

Un petit calcul conduit maintenant à :

Le calcul de Δn (lemme 2) montre une convergence alternée : x - an/bn est du signe de (-1)n+1. On vérifie de plus très facilement que  x - an/bn = -en(x - an-1/bn-1). Par conséquent  |x - an/bn| < |x - an-1/bn-1|, c'est dire que la suite (x - an/bn) converge vers 0 en décroissant.


      Proposition 4 : Un anneau A est noethérien  ssi  toute suite emboîtée croissante d'idéaux de A est finie.

Lemme : (In) désignant une chaîne ascendante d'idéaux de A, la réunion U  des In est un idéal de A.

Preuve : U est un sous-groupe additif de A car si (a,b)U2, il existe (j,k)N2 tel que aIj et bIk, donc (a,b)J = IMax(j,k), idéal de A; par suite a - bJU. D'autre part, pour tout (a,x)AU, il existe jN tel que xIj, donc axIjU.

Preuve prop. 4 : a/ supposons A noethérien (idéaux de A de type fini). Montrons que toute chaîne ascendante (In) d'idéaux de A est finie. La réunion U des In est un idéal de A qui est donc de type fini engendré par des éléments b1, b2,..., bk de A. Chacun des bj (j = 1, 2, ..., k) est élément d'un In (éventuellement le même). Soit m le plus grand indice n rencontré. La chaîne des In étant ascendante, Im contient tous les bj et leurs combinaisons linéaires; par conséquent ImU. Mais UIm, donc U = Im. C'est dire que la suite des (In) est stationnaire à partir du rang m.

b/ Supposons finie toute chaîne ascendante (In) d'idéaux et A non de type fini. Un idéal I de A n'admet aucun système générateur fini. Pour a1, élément de A, on a donc (a1) strictement inclus dans I; il existe donc a2 dans A tel que (a1,a2), idéal engendré par a1 et a2 soit strictement inclus dans I. Et ainsi de suite. On crée ainsi une chaîne d'idéaux illimitée (a1)(a1,a2)(a1,a2, a3)... : contradiction.


  Proposition 6 :  Tout anneau principal est noethérien.

Preuve : Soit A cet anneau. Il nous faut montrer que A vérifie la condition de chaîne ascendante. (In) désignant une chaîne ascendante d'idéaux de A, notons U la réunion des In. U est un idéal de A ( anneau noethérien).
En tant qu'idéal d'un anneau principal, U est principal; il existe donc uA tel que U = (u). Mais il existe kN tel que uIk; par suite Ik = (u) : c'est dire que U = Ik et la suite (In) est stationnaire dès le rang n = k.

Proposition 7Tout élément non nul et non inversible d'un anneau principal peut s'écrire d'au moins une façon comme produit fini p1p2...pk d'éléments irréductibles (k = 1 correspondant à un élément irréductible).

Preuve : soit A un anneau principal et pA*, non irréductible, non inversible. p admet alors au moins un diviseur propre (ni une unité, ni un associé) : p = xy avec x et y non inversibles. Si au moins un des facteurs x et y n'est pas irréductible (ou produit fini d'irréductibles), par exemple x, alors x s'écrit x1y1 avec x1 et y1 non inversibles. Si le processus de décomposition ne s'arrête pas, c'est à dire si l'on ne rencontre pas un diviseur irréductible de p on obtient x divise p, donc (p)(x), puis x1 divise x, donc (x)(x1), puis (x1)(x2)(x3),... On construit ainsi une suite infinie d'idéaux emboîtés principaux de A. Mais A est noethérien (proposition 6); c'est dire qu'il vérifie la condition de chaîne ascendante : contradiction. Donc x s'avère être irréductible ou produits d'irréductibles et le même raisonnement conduirait à la même conclusion pour y


   Proposition 10 :  Dans un anneau intègre A tout élément premier p est irréductible : p ne possède aucun diviseur propre

Preuve : supposons p premier dans A (d'élément unité e) et x diviseur propre de p. On a alors p = xy, x non inversible, yA. xy est donc multiple de p, donc x(p) ou y(p). Si y(p), alors y = zp, donc p = xzp, ce qui implique p(e - xz) = 0; A étant intègre, xz = e, donc x est inversible d'inverse z. Ce qui est contradictoire puisque x est un diviseur propre. Si x(p), on a x = zp, on obtient cette fois yz = e, donc y inversible d'inverse z, d'où x = zp avec z inversible : diviseur impropre, ce qui est encore contradictoire.

Proposition 11 :  Dans un anneau factoriel, tout élément irréductible est premier

Preuve : supposons p irréductible dans l'anneau factoriel A divisant le produit xy. On a alors xy = pq, qA, q = Πqi, x = Πxi, y = Πyj, décompositions uniques de x, y et q en produit de facteurs irréductibles dans A. D'où xy = pΠqi = ΠxiΠyj. p, qui divise xy, divise donc le produit ΠxiΠyj et pour ce faire p ne peut apparaître comme produit extrait, de la forme Πxi'Πyj' puisqu'il est irréductible donc non produit d'éléments tous inversibles. Il est donc soit l'un des xi soit l'un des yj. C'est dire que p divise x ou bien p divise y : p est premier.


Soit (G,*)  un groupe commutatif d'élément neutre noté e, et H un sous-groupe de G. La relation définie dans G par :

x ~ y x*y-1H

Preuve : la relation est réflexive car 0H. Elle est symétrique car H étant un sous-groupe de G, H contient les symétriques de ses éléments : x ~ y x*y-1H (x*y-1)-1H y*x-1H (vu que dans un groupe, le symétrique de a*b est b-1*a-1). Elle est transitive car si x ~ y et y ~ z, on a  x*y-1H et y*z-1H. Le composé est x*z-1 qui est un élément de H puisque H est un sous-groupe de G et c'est dire que x ~ z.

Vérifions maintenant la compatibilité : la relation étant réflexive et transitive, il suffit de montrer qu'elle est régulière pour la loi de groupe : soit aG et x ~ y. On a alors  x*y-1H. Il nous faut montrer que a*x ~  a*y, c'est à dire (a*x)*(a*y)-1H; or, e composé peut s'écrire a*x*(y-1*a-1) et, par associativité et commutativité de la loi *, c : a*a-1*x*y-1 = x*y-1H.



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