ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Méthode itérative de Jacobi pour les systèmes linéaires       @ Programme JavaScript

Considérons un système linéaire n × n (n équations à n inconnues x_i, i=1,...,n).

• On exprime tout d'abord chaque inconnue x_i comme combinaison linéaire des x_j (j ≠ i) de la ligne i (ces combinaisons fournissent le "second membre").

• Partant d'une solution approchée initiale (x_i^(o))_{i =1,...,n} , on exprime les x_i en remplaçant les x_j du second membre par les x_j^(o); on obtient alors une nouvelle solution approchée x_i⁽¹⁾.

Ainsi se crée une suite x_i⁽ⁿ⁾ convergeant vers la solution, moyennant certaines conditions sur le système initial. On remarquera que c'est une méthode de fausse position.

Illustrons la méthode par l'exemple d'un système 2 × 2 : soit à résoudre le système :

On exprime x en fonction de y et y en fonction de x :

On part d'une solution "approchée" (x_o,y_o), disons x_o = 1, y_o = 1, que l'on reporte dans (s2). Les valeurs obtenues constituent une nouvelle solution approchée (x₁,y₁) que nous reportons dans (s2) afin d'obtenir une nouvelle approximation (x₂,y₂) de la solution (x,y). Et ainsi de suite. L'algorithme est facilement programmable :

La première partie grisée du programme correspond aux données du système :

ax + by = c
a'x + b'y = c'

xn et yn sont les valeurs de x et de y obtenues à chaque itération. On a fixé la précision des calculs à 10^-6 près : les calculs se poursuivent tant que |x - xn| < 10^-6 ou |y - yn| < 10^-6, c'est à dire :

while(Math.abs(x-xn) > 1e-6 || Math.abs(y-yn)>1e-6)

Avec les données par défaut du système (s1), le procédé converge rapidement vers x = 1,8 et y = -0,4.  On vérifiera une "bien moins bonne" convergence avec le système :

2x + 3y = 5
3x + 5y = 1

Et le procédé diverge avec le système :

x + 3y = 5
3x + 5y = 1

Si X désigne la matrice colonne (x_i) de la solution, comme on le constate dans l'exemple ci-dessus, exprimer les x_i en fonction des x_j pour j ≠ i revient à écrire matriciellement :

où M est une matrice dont la diagonale principale est nulle et C une matrice colonne de constantes : on est en présence d'un phénomène récurrent du type :

X_n = MX_n-1 + C  avec X_o donné autre que la solution X     (2)

Cette écriture rappelle les études classiques de suites numériques et le théorème du point fixe.

Par soustraction (2) - (1) et en posant Y_n = X_n - X, on obtient :

Y_n = MY_n-1

et finalement Y_n = MⁿY_o. La suite X_n convergera vers X à condition que Y_n converge vers 0. On démontre assez facilement qu'une condition nécessaire et suffisante de convergence est que toutes les valeurs propres de M soient de module strictement inférieur à 1. Une condition suffisante étant qu'une norme euclidienne de M (on peut en définir plusieurs, lesquelles sont équivalentes) soit inférieure à 1.