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Pyramide de Kheops             » Kheops, nombre d'or et section dorée selon Hérodote | Pyramide et angles au sommet

Sachant que la grande pyramide de Gizeh, dite de Kheops, est une pyramide régulière, de basse carrée de 227 m de côté, d'arête 217 m, calculer :

• 1. sa hauteur;
• 2. l'inclinaison (en degrés) d'une face par rapport au plan horizontal.

Site archéologique de Gizeh - Le Caire, Egypte

• 1. La hauteur est SH. La pyramide étant régulière, H est à l'intersection des diagonales du carré de base et le triangle SHC est rectangle en H. L'unité étant le mètre, on a SC = 217 et HC est la demi-diagonale du carré ABCD.

  L'application du théorème de Pythagore dans le triangle ADC fournit AC = DC√2, donc HC = 113,5√2. L'application du même théorème dans le triangle rectangle SHC fournit SH ≅ 146 m.

   ➔   Cette hauteur est effectivement celle d'origine. L'érosion faisant, elle a 4600 ans..., il n'est pas étonnant qu'elle ait perdu quelques mètres.
  

• 2. L'angle cherché est ^SJH (et non pas ^SCH). Dans le triangle SHJ, rectangle en H, nous avons cos^SJH = HJ/SJ. On a HJ = 227÷2 = 113.5 Il nous faut calculer SJ. L'application du théorème de Pythagore dans le triangle SJC rectangle en J, où SC = 217 et JC = 113,5 conduit à  SJ ≅ 185.  Par suite, cos^SJH = 113,5/185 et finalement :

^SJH ≅ 52°

» Connaissant SH par 1°, on pouvait aussi utiliser, sin^SJH = SH/SJ mais cela rend 2° dépendant de 1°.

Pyramide de Kheops et nombre d'or :

Certains experts du nombre d'or, partant de la constatation, faite par Hérodote, que SH² est sensiblement égal au produit HJ × SJ, estiment que les architectes égyptiens n'avaient pas choisi les dimensions au hasard...

Posons h = SH, b = SJ et c = HJ. On a alors h² + c² = b² et, selon Hérodote : h² = bc. Par conséquent, bc + c² = b², soit b(b - c) = c²

ou encore :

en posant s = b/c > 1, on retrouve l'équation s² - s - 1 = 0 fournissant le nombre d'or Φ = (1 + √5)/2. il est vrai que l'on constate que le rapport b/c = SJ/HJ ≅ 185/113,5 ≅ 1,63, proche de (1 + √5)/2 ne serait autre que le nombre d'or Φ. Son inverse, à savoir HJ/SJ = cos^HJS vérifierait donc la divine proportion chère à Luca Pacioli... :

Pyramide de Kheops - Gizeh

Considérations sur le nombre d'or :  ››››              »  Vitruve , Fibonacci , Pacioli