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Équirépartition modulo 1 de nombres réels

Dans toute la suite si (un) désigne une suite numérique,  E(un) désignera la partie entière par défaut de un et sa partie fractionnaire (partie décimale illimitée ou non), c'est à dire {un} = un - E(un). La suite des {un} est à valeurs dans [0,1[. Au sens des congruences, on a {un} un [1], raison pour laquelle on parle de répartition modulo 1 des un

La notion de répartition modulo 1 :

Équirépartition :   

Posons I = [0,1] et soit J = [a,b] un intervalle quelconque de I. A la manière du totient d'Euler, soit :

φ(n) = Card {kN, 1 ≤ k ≤ n, a ≤ {un}≤ b }

La suite {un} est dite équirépartie modulo 1 si elle est dense dans I et si, pour tout J, la suite φ(n)/n converge vers b - a.

Intuitivement, pour n suffisamment "grand", on doit avoir φ(n) n(b - a) pour tout J de I de longueur b - a : le nombre de {un} est "proportionnel" à n et à l'amplitude de l'intervalle J.

  L'ensemble des multiples nα d'un nombre réel α est équiréparti modulo 1si et seulement si α est irrationnel.

  Selon un résultat de J. F. Koksma (1933), la suite (αxn), pour α réel, est équirépartie modulo 1 pour presque tout réel x > 1, c'est à dire que l'ensemble des x > 1 tels que la suite n'est pas équirépartie est de mesure nulle au sens de Lebesgue. Mais selon Marcel David (Encyclopaedia Universalis, Approximations diophantiennes, §6 répartition modulo 1), aucun x n'a encore été exhibé : un cas comme α = 1, x = 3/2 est un problème ouvert.

  J. Ferdinand Koksma (1904-1964), mathématicien hollandais. Spécialiste en théorie des nombres et approximations diophantiennes.

  Le cas des nombres de Pisot est un contre-exemple du théorème de Koksma : ils sont très mal répartis. Prenons le cas du nombre d'or Φ, c'est un nombre de Pisot. On constate dans le tableau de valeurs ci-contre que Φn prend des valeurs de "plus en plus entières" :

On peut prouver ce résultat dans ce petit exercice où il apparaît que la suite de terme général :

wn = Φn + (-1/Φ)n

ne prend que des valeurs entières (*). Lorsque n devient infini, vu que Φ = (1 + 5)/2 > 1, (-1/Φ)n tend ("très vite") vers 0. C'est dire que lorsque n tend vers l'infini, (Φ)n tend vers des valeurs entières. Pour n "grand" il y a alors accumulation des {Φn} au voisinage de 0 ou 1 : leur suite n'est pas dense dans [0,1] et la condition sur la limite de φ(n)/n n'est pas non plus vérifiée !

Il en est de même de la suite de terme général Φn/5. En effet, selon la formule de Binet,  le terme général de la suite de Fibonacci peut s'écrire :

C'est à dire un = wn+1/5. On obtient les mêmes conclusions en usant du même raisonnement.

(*)  C'est un cas particulier d'un résultat général. On pourra consulter les deux références ci-dessous sur l'équirépartition modulo 1 :

 Pour en savoir plus :

  1. La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, par Charles Pisot, 1938 :
    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASNSP/ASNSP_1938_2_7_3-4/ASNSP_1938_2_7_3-4_205...pdf

  2. Équirépartition modulo 1 d'après Hermann Weyl, par Pierre de la Harpe (Univ. Genève) :
    http://www.unige.ch/math/folks/delaharpe/vulgarisation/4Therg20mar05.pdf

  3. De l'équirépartition modulo 1 aux nombres de Salem, par E. H. El Abdalaoui et G. Grancher :
    http://lmrs.univ-rouen.fr/Salem/nbressalem.pdf


Houël   Codazzi
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