ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

On considère un angle droit ^ABx, AB = a étant une mesure arbitraire.

• Placer J sur [Bx) tel que BJ = a/2.

• Le cercle de centre J passant par A coupe [Bx) en C.

• On complète la figure afin d'obtenir le rectangle ABCD.

ABCD est un rectangle d'or car  AJ = JC = a√5/2, d'où BC/BA = (1 + √5)/2 = Φ.

Euclide appela plus modestement partage en moyenne et extrême raison la fameuse section qui intervient dans la construction du pentagone régulier (Livre VI, définition 3) :

« Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière
est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit »

Par droite, Euclide entend segment et raison signifie le rapport entre deux grandeurs : « les grandeurs qui ont la même raison sont dites proportionnelles ».

L'étude de ce partage fait l'objet des 9 premières propositions du livre XIII qui introduisent l'étude des (cinq) polyèdres réguliers dits de Platon. Ce livre ultime se termine par :

Je dis aussi qu'excepté les cinq figures dont nous venons de parler, on ne peut pas construire une autre figure qui soit contenue sous des figures équilatérales et équiangles.

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Construction de la section dorée selon Euclide , Euclide : Livre XIII, proposition III & VIII  , Triangle d'or...