ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Bissectrice et section dorée      niveau 2nde/1ère

Il s'agit ici de prouver que, compte tenu des hypothèses codées, [AM) est la bissectrice de l'angle ^BAC et que M réalise ainsi la section dorée du segment [BC]. On pourra aussi évaluer en degrés la mesure de l'angle ^MAC.

1°- Tout point de la bissectrice de l'angle ^BAC d'un triangle ABC est à égale distance des côtés de l'angle.

2°- Moins évident : M partage le côté [BC] proportionnellement aux côtés [AB] et [AC].

En effet, vu 1° il est clair en égalisant les aires que :

MB × H = AB × h  et  MC × H = AC × h

  Par suite, en exprimant H/h :

• Utilisant que la somme des angles d'un triangle égale 180° et en notant x = ^MAC, y = ^BAM, on obtient aisément :

^BAC = x + y et ^BCA = 2y, 

donc x = y et [AM) est bien la bissectrice de l'angle ^BAC.

• Dans le triangle MAC, il suit que 5x = 180. Donc x = π/5 (soit 36°);
• Puisque [AM) est la bissectrice de l'angle ^BAC, on a : MB/MC = AB/AC. 

Posons c = AB et x = MB, on obtient :

C'est à dire, petite équation du second degré en x :

On a ainsi MB/AB = s, section dorée. Et, si l'on préfère :

C'est le fameux nombre d'or Φ.