ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Résolution de l'équation du premier degré
     
Notion d'équation , équation du second degré , inéquations          degré 2 | degré 3 | degré 4

Une équation d'inconnue est dite du 1er degré si elle peut se ramener par des transformations régulières à la forme a + b = 0 où a et b sont des nombres réels (ou complexes) donnés, a étant non nul. Le membre de gauche est un polynôme du 1er degré : c'est à dire un binôme (deux termes) du premier degré.

  Clairaut, en 1743, parle d'équation du 1er degré. d'Alembert, en 1752, dans son Encyclopédie, parle également d'équation linéaire (du latin linea = ligne droite) pour signifier que l'inconnue n'apparait qu'au premier degré : pas d'exposant entier ou fractionnaire. L'équation ax + by + c = 0 est une équation linéaire à 2 variables x et y. En termes de fonction, on distingue aujourd'hui les appellations f(x) = ax : fonction linéaire et f(x) = ax + b : fonction affine (terme moderne, du latin affinis = voisin, allié), dont les représentations graphiques sont des droites (des lignes).

Résolution :         

   Si b = 0, l'équation se réduit à a = 0 : c'est un cas trivial paradoxalement mal résolu au collège où l'on rencontre trop souvent la réponse = - a, confusion classique avec l'équation + a = 0.

La solution de l'équation a = 0 (a non nul) est = 0

car il s'agit là d'un produit nul a x = 0 et a étant non nul, l'est nécessairement.

   Si b 0, l'équation a + b = 0 est équivalente à a = - b et la solution est = -b/a.

   Exemples :


  2 - 3 = 0
  2 = 3
  = 3/2
   3 + 4 = 0
   3 = -4
   = -4/3
  6 + 3 = 10 -
  6 + x = 10 - 3
  7 = 7
  = 7/7
  = 1
  6( - 1) = 3( - 2)
  6 - 6 = 3 - 6
  6 - 3 = - 6 + 6
  3 = 0
  = 0
  1 - 2 = 5 +
  1 - 5 = + 2
  - 4 = 3
  3 = - 4   
  (symétrie)
  = -4/3
 
  3 - 7 = 5 -
  - 7
+ = 5 - 3
  - 6
= 2
  6
= - 2
  = - 2/6
 
= - 1/3

 4 - 1 = 2(3 - 1) + 5
 4 - 1 = 6 - 2 + 5
 4 - 6 = -2 + 5 + 1
 - 2 = 4
 2 = - 4
  = -4/2
  = -2

   
    3 + 1 = 25   
    3 + 1 = 10
    3 = 10 - 1 
    3 = 9
   = 9/3
   = 3
  
    (3 + 1) 3 = 2 x 5   
   9 + 3 = 10
   9 - 10 = -3 
   - = -3
  
= -3

Autoévaluation niveau 5è :


  Petits problèmes d'algèbre niveau 5è/4ème

Il y a autant de moutons dans le tiers de mon troupeau que lorsque 20 d'entre eux le quittent pour aller boire. Combien ai-je de moutons dans mon troupeau ?

Rép :
si x désigne le nombre cherché, on a x/3 = x - 20, d'où 2x = 60;  x =30.

Dans mon porte-monnaie, j'avais une certaine somme. J'en ai dépensé le tiers et y ai remis 2 . Quelque temps après j'ai dépensé le quart de son contenu et il me restait alors 6 . Combien contenait donc initialement mon porte-monnaie ?

Rép :
si S désigne la somme cherchée exprimée en euros, avant la seconde dépense, il restait 2S/3 + 2. Après la seconde dépense les 3/4 de ce reste égalent 6. Donc 3(2S/3 + 2)/4 = 6. J'avais 9 .

Dans une salle de permanence d'un collège, un tiers des élèves s'adonne aux mathématiques, un quart a préféré apprendre la leçon de géographie et le reste, 10 élèves, bavarde en attendant que ça sonne.... Combien y a-t-il d'élèves dans la salle ?

Rép :
si x désigne le nombre cherché, on a x - x/3 - x/4 = 10, d'où 5x = 120;  x = 24.

Après une évaluation, une classe a été répartie en 4 groupes : 15% dans le groupe 1, 40% dans le groupe 2, un quart dans le groupe 3 et le reste, 6 élèves, dans le groupe 4. Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ?

Rép :
un quart correspond à 25% et 15 + 40 + 25 = 80. Donc 6 élèves correspondent à 20% de x, d'où  Il y a 30 élèves dans cette classe. En termes d'équation, on serait conduit à écrire : x - 15x/100 - 40x/100 - x/4 = 6, soit 20x/100 = 6.

En 2005, un père a 43 ans et son fils 24. En quelle année l'âge du père fut ou sera, le double de l'âge du fils ?

Rép :
si désigne le nombre d'années dans le futur ou le passé nous séparant du phénomène indiqué, on a 2 x (24 + ) = 43 + , d'où 48 + 2 = 43 + ; = -5. Cette réponse négative indique que le phénomène a eu lieu il y a 5 ans : en l'an 2000.  on pourra reprendre l'exercice en remplaçant double par triple...

niveau 4è/3ème

Le produit de nombres consécutifs diminue de 22 lorsqu'on les diminue chacun de 2 unités. Quels sont ces nombres ?

Rép :
si désigne le plus petit, l'autre est + 1 et on a alors : ( - 2)( - 1) = ( + 1) - 22. D'où 2 - 3 + 2 = 2 + - 22; les 2 s'éliminent et finalement = 6. Les nombres cherchés sont donc 6 et 7. Vérification : 6 x 7 = 42; 4 x 5 = 20; 42 - 20 = 22.

   Autres petits problèmes du 1er degré niveau collège

Pokémons...

Un bon ciment   1er degré et proportionnalité

Voyage scolaire   

Généreuse maman

Naufragés 

Problème de pommes  pas vraiment évident...

Un problème de sous  un peu difficile

Zoo...logique     à traiter sans équations

L'addition s'il vous plaît !  

Des pommes & des poires   un peu difficile...

Rues Jeanne et Darc avec un peu de trigo

La fortune de Karen  

Massif circulaire    avec aire du disque

Pyramide de nombres


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