ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Abreuvoir
#1
TD niveau 2nde/1ère
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Abreuvoir maximal... (niveau Sup) |
Un abreuvoir est en forme de prisme droit (les parois latérales sont rectangulaires), les bases, comme IJKL, étant des trapèzes isocèles. Les dimensions sont indiquées en mètres sur la figure.
Calculer le volume
d'eau exprimé en litres
lorsque la
hauteur d'eau est h comme
indiquée sur le schéma ci-contre. La partie
grisée symbolise le remplissage.
La cuve est remplie par une entrée d'eau située sur le haut d'une des bases (trapèzes) et on veut percer un orifice sur la base opposée permettant une évacuation canalisée dès que la cuve contient 300 litres. A quelle hauteur h doit-on percer ?
| Indications pour la solution : |
1.
à la hauteur h, on remarque que MN = b + 2h × tanα en appelant α l'angle que fait un côté du trapèze, comme [JK], avec la verticale. Si H est la hauteur de la cuve, on a tanα = (B - b)/2H.
➔ on peut aussi faire apparaître des triangles homothétiques.
La largeur de la ligne d'eau pour une hauteur h est alors :
MN = b + h × (B - b)/H. Avec les dimensions données, on en déduit que le volume pour une hauteur d'eau h est :
2. On écrit que V(h) = 300. Ce qui conduit à une équation du second degré :
On doit percer à h ≅ 52 cm, soit à 8 cm du bord supérieur