ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Abreuvoir #1                TD niveau 2nde/1ère                  Abreuvoir maximal... (niveau Sup)

Un abreuvoir est en forme de prisme droit (les parois latérales sont rectangulaires), les bases, comme IJKL, étant des trapèzes isocèles. Les dimensions sont indiquées en mètres sur la figure.

  1. Calculer le volume d'eau exprimé en litres lorsque la hauteur d'eau est h comme indiquée sur le schéma ci-contre. La partie grisée symbolise le remplissage.

  2. La cuve est remplie par une entrée d'eau située sur le haut d'une des bases (trapèzes) et on veut percer un orifice sur la base opposée permettant une évacuation canalisée dès que la cuve contient 300 litres. A quelle hauteur h doit-on percer ?

Si vous séchez après avoir bien cherché :
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indications pour la solution :

1.

à la hauteur h, on remarque que MN = b + 2h tanα en appelant α l'angle que fait un côté du trapèze, comme [JK], avec la verticale. Si H est la hauteur de la cuve, on a tanα = (B - b)/2H.

  on peut aussi faire apparaître des triangles homothétiques.

La largeur de la ligne d'eau pour une hauteur h est alors :

MN = b + h (B - b)/H. Avec les dimensions données, on en déduit que le volume pour une hauteur d'eau h est :

V(h) = 1000 h(h + 1,2)/3

2. On écrit que V(h) = 300. Ce qui conduit à une équation du second degré :

h2 + 1,2h - 0,9 = 0 avec 0 < h < 0,6

On doit percer à h 52 cm, soit à 8 cm du bord supérieur


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