ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Croisement
minimal...
niveau 1ère/Ter |
Un avion, en bleu sur la figure, est repéré à la verticale d'une ville faisant route au Nord à la vitesse de 800 km/h.
Au même instant un second avion, figuré en rouge, est repéré à 300 km au nord du premier et suivant une route Sud 60° Ouest à une vitesse de 600 km/h et à la même altitude.
On demande de calculer le laps de temps t qui s'écoulera à compter du repérage jusqu'au moment où la distance D(t) séparant les deux appareils sera minimale.
| Solution : |
On choisit
100 km comme unité de distance et l'heure comme unité
de temps.
Le temps t est considéré comme nul au moment du
repérage, soit sur la figure ci-contre, lorsque l'avion rouge R faisant
route au sud-ouest était en O à 300 km au nord de l'avion bleu B.
Soit D(t) la distance séparant les deux avions
à l'instant t. Avec les notations de la figure de gauche et au moyen de la formule
d'Al
Kashi, on a :
Au temps t, avec les conventions d'unités de temps et de distance, on a AR = 6t et BA = 3 - 8t.
Noter que BA = 3 - 8t étant une distance, donc un nombre positif, on doit avoir 0 ≤ t ≤ 3/8 (soit t ≤ 22' 30").
On obtient : D2(t) = 148t2 - 66t + 9 et il s'agit de trouver le minimum de D2(t) dans l'intervalle [0,3/8] car le nombre positif D est minimal si son carré l'est.
Sans passer par la dérivation, la recherche du minimum peut se faire en mettant D2(t) sous la forme canonique : D2(t) =148.[(t - a)2 + b] où a et b sont des constantes indépendantes de t. On a ici a = 33/148.
Représentation graphique de D2(t)
On trouvera que la distance entre les deux avions sera minimale au bout de 33/148 heures, soit 13' 23". La distance D qui les sépare vaudra alors environ √164,189... ≅ 128 km.
➔ Rappel : une expression trinôme du second degré admet un minimum ou un maximum suivant que son coefficient du second degré est positif ou négatif. Sa représentation graphique est une parabole présentant sa convexité vers les ordonnées positives. Dans cet exercice, on était assuré d'avoir un minimum eu égard au coefficient de t2 : 148 > 0.
