ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Croisement minimal...          niveau 1ère/Ter

                 

Un avion, en bleu sur la figure, est repéré à la verticale d'une ville faisant route au Nord à la vitesse de 800 km/h.

Au même instant un second avion, figuré en rouge, est repéré à 300 km au nord du premier et suivant une route Sud 60° Ouest à une vitesse de 600 km/h et à la même altitude.

On demande de calculer le laps de temps t qui s'écoulera à compter du repérage jusqu'au moment où la distance D(t) séparant les deux appareils sera minimale.

Si vous séchez après avoir bien cherché :

© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Solution :

On choisit 100 km comme unité de distance et l'heure comme unité de temps.
Le temps t est considéré comme nul au moment du repérage, soit sur la figure ci-contre, lorsque l'avion rouge R faisant route au sud-ouest était en O à 300 km au nord de l'avion bleu B.

Soit D(t) la distance séparant les deux avions à l'instant t. Avec les notations de la figure de gauche et au moyen de la formule d'
Al Kashi, on a :

D2(t) = BR2 = OR2 + OB2 - 2OR.OB.cosÔ

Au temps t, avec les conventions d'unités de temps et de distance, on a AR = 6t et BA = 3 - 8t.

Noter que BA = 3 - 8t étant une distance, donc un nombre positif, on doit avoir 0 ≤ t ≤ 3/8 (soit t ≤ 22' 30").

On obtient : D2(t) = 148t2 - 66t + 9 et il s'agit de trouver le minimum de D2(t) dans l'intervalle [0,3/8] car le nombre positif D est minimal si son carré l'est.


Représentation graphique de D2(t)

On trouvera que la distance entre les deux avions sera minimale au bout de 33/148 heures, soit 13' 23". La distance D qui les sépare vaudra alors environ √164,189...   128 km.

Une expression trinôme du second degré admet un minimum ou un maximum suivant que son coefficient du second degré est positif ou négatif. Sa représentation graphique est une parabole présentant sa convexité vers les ordonnées positives. Dans cet exercice, on était assuré d'avoir un minimum eu égard au coefficient de t2 : 148 > 0.


© Serge Mehl - www.chronomath.com