ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Croisement minimal...          niveau 2nde/1ère/Ter

    

Un avion A est repéré à la verticale d'une ville faisant route au Nord à la vitesse de 800 km/h.

Au même instant un avion B est repéré à 300 km au nord de A et suivant une route Sud 60° Ouest à une vitesse de 600 km/h et à la même altitude.

On demande de calculer le laps de temps qui s'écoulera à compter du repérage jusqu'au moment où la distance séparant les deux appareils sera minimale.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Solution :

Choisir 100 km comme unité de distance et l'heure comme unité de temps.
Le temps t est considéré comme nul au moment du repérage, soit sur la figure ci-dessus, lorsque l'avion B était en O.

1°) Soit D(t) la distance séparant les deux avions à l'instant t. Au moyen de la célèbre formule d'
Al Kashi

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

on a , D2(t) désignant [D(t)]2 :

D2(t) = 148t2 - 66t + 9

Posons f(t) = D2(t). Il s'agit de trouver le minimum de f pour t > 0 car le nombre positif D est minimal si son carré l'est.

On trouve que la distance entre les deux avions sera minimale au bout de 13'23" (correspondant à 33/128 heures). La distance D qui les sépare vaudra alors 128,14 km.


© Serge Mehl - www.chronomath.com