ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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Calcul d'un angle #2
système 2×2 non
linéaire
TD niveau 2nde/1ère
» variante plus facile niveau 4ème/3ème |
On considère un triangle ADC tel que DC = 4 cm, DA = 6 cm et CA = 8 cm. Afin d'éviter des mesures d'angle intempestives, ces données ne sont pas respectées ci-dessous... :
On demande de calculer la mesure en degrés de l'angle ^DAC à 0,1 près.
➔ Pour ce faire, on trace la hauteur issue de A coupant le prolongement du côté [DC] en B. On appellera x le côté [BD], y le côté [AB] et on établira un système d'équations (non linéaire) en x et y en utilisant 2 fois le théorème de Pythagore.
Tout calcul intermédiaire de la mesure d'un angle sera arrondi à 0,01 près...
On ne devra pas utiliser ici la formule, parfois dite d'Al Kashi, a2 = b2 + c2 - 2bc.cos relative à un triangle ABC de côtés AB = c, BC = a et AC = b. Tu pourras cependant vérifier ton calcul grâce à elle...
Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››
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Solution : |
La difficulté de l'exercice réside dans l'absence d'un triangle rectangle dont on connaîtrait au moins deux côtés ! Nous contournons la difficulté en appelant x le côté [BD] et y le côté [AB].
Nous contournons la difficulté en appelant x le côté [BD] et y le côté [AB]. en appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ABD et ABC, on obtient le système d'équations non linéaire :
En développant la seconde équation, on obtient : x2 + y2 + 8x = 48; la première équation permet alors d'écrire : 36 + 8x = 48 et le système se résume à :
conduisant facilement à x = 3/2 et y = 3√15/2 (cette valeur de y est ici auxiliaire, nous ne nous en servirons pas).
On a donc BC = 5,5. On en déduit sin^BAC = BC/AC dans le triangle rectangle ABC, d'où ^BAC = 43,43° à 0,01 près.
Dans le triangle rectangle BAD, on a sin^BAD = BD/AD = 1,5/6, d'où ^BAD = 14,48° à 0,01 près. Par conséquent ^DAC mesure 28,95°, ce que nous arrondissons à 0,1 près comme demandé : ^DAC = 29°.
La formule d'Al Kashi appliquée ici au triangle ADC permettrait d'écrire 42 = 62 + 82 - 2 x 6 x 8.cosÂ. On en déduit cos = 7/8, soit  = 28,95°, que nous arrondissons à 29°. C'est clairement plus rapide. Comme toutes les formules...
Preuve de la formule d'Al Kashi : ››››
Manip :
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Java
La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet. C'est la figure de l'énoncé mais les mesures indiquées ne sont pas non plus respectés. En déplaçant judicieusement les points A, D et C, tu peux trouver la solution approchée de ce petit problème confirmant les calculs.
N.B : obtenir AC = 8,01 est parfait eu égard à l'hypothèse AC = 8. En fait, comme le montre cette copie d'écran, le logiciel ne gère pas graphiquement les dixièmes de millimètres ! Avec AC = 8,01, AD = 5,99 et DC = 4, logiciel affiche ^DAC = 28,8°, ce qui est très acceptable.
Tu peux déplacer les points A, D et C
afin d'approcher la solution approchée
du problème,
à savoir la valeur de l'angle ^DAC à 0,1° près