ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul d'un angle #2      système 2x2 non linéaire      TD niveau 2nde/1ère                variante plus facile niveau 4ème/3ème

On considère un triangle ADC tel que DC = 4 cm, DA = 6 cm et CA = 8 cm (afin d'éviter des mesures d'angle intempestives, ces données ne sont pas respectées ci-dessous) :

On demande de calculer la mesure en degrés de l'angle ^DAC à 0,1 près.

Pour ce faire, on trace la hauteur issue de A coupant le prolongement du côté [DC] en B. On appellera x le côté [BD], y le côté [AB] et on établira un système d'équations (non linéaire) en x et y en utilisant 2 fois le théorème de Pythagore.

Tout calcul intermédiaire de la mesure d'un angle  sera arrondi à 0,01 près...

On ne devra pas utiliser ici la formule, parfois dite d'Al Kashi, a² = b² + c² - 2bc.cos relative à un triangle ABC de côtés AB = c, BC = a et AC = b. On pourra cependant vérifier son calcul grâce à elle...

La difficulté de l'exercice réside dans l'absence d'un triangle rectangle dont on connaîtrait au moins deux côtés !

Nous contournons la difficulté en appelant x le côté [BD] et y le côté [AB]. en appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ABD et ABC, on obtient le système d'équations non linéaire :

En développant la seconde équation, on obtient : x² + y² + 8x = 48; la première équation permet alors d'écrire : 36 + 8x = 48 et le système se résume à :

conduisant facilement à x = 3/2 et y = 315/2 (cette valeur de y est ici auxiliaire, nous ne nous en servirons pas).

On a donc BC = 5,5. On en déduit sin^BAC = BC/AC dans le triangle rectangle ABC, d'où ^BAC = 43,43° à 0,01 près.

Dans le triangle rectangle BAD, on a sin^BAD = BD/AD = 1,5/6, d'où ^BAD = 14,48° à 0,01 près. Par conséquent ^DAC mesure 28,95°, ce que nous arrondissons à 0,1 près comme demandé : ^DAC = 29°

Pour vérifier, tu peux déplacer A, D et C afin d'obtenir les bonnes mesures des côtés et constater la valeur de l'angle ^DAC

La formule d'Al Kashi appliquée ici au triangle ADC permettrait d'écrire 4² = 6² + 8² - 2 x 6 x 8.cosÂ. On en déduit cos = 7/8, soit  = 28,95°, que nous arrondissons à 29°. C'est clairement plus rapide. Comme toutes les formules...

Preuve de la formule d'Al Kashi :