ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Le bassin et l'allée    niveau 2nde/1ère      » outil : équation du second degré

Dans un terrain rectangulaire de 384 m², on veut creuser un bassin également rectangulaire et de même centre dont la longueur sera 20 m et la largeur 12 m.

Pour définir le pourtour du bassin, à l'intention des terrassiers, on place un cordage périmétrique délimitant la surface à creuser (en bleu). Comme on le voit sur le plan ci-dessus, cela devrait laisser une allée de largeur d.

Quelle doit donc être cette largeur ?

Indications :   

On devra obtenir l'équation du second degré d² + 16d - 36 = 0.
En classe de seconde, et même en classe de 1ère, on pourra remarquer que d² + 16d =  (d + 8)² - ...
On se ramènera alors au 1er degré en transformant l'équation sous la forme (d + 8)² = ...

On écrit le produit de facteurs, fonction de d, exprimant l'aire du terrain (longueur x largeur) : (12 + 2d)(20 + 2d) = 384.

On développe et on simplifie : d² + 16d = 36.

On peut résoudre l'équation du second degré :

d² + 16d - 36 = 0

ou bien remarquer, comme conseillé, que d² + 16d = (d + 8)² - 64. D'où :

(d + 8)² = 64 + 36 = 100 = 10²

Réponse : d = 2 (on rejette la solution négative).