ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BURNSIDE William Snow, irlandais, 1852-1927

Après des études à Cambridge où Cayley fut un de ses professeurs, cet algébriste fut professeur au collège naval de Greenwich.

Burnside apporta, après le français Mathieu, une contribution fondamentale dans la théorie des groupes finis (Théorie des groupes d'ordre fini, 1911) dont Cauchy et Galois furent les initiateurs.

  On lui doit le terme de groupe sporadique. Burnside fut vice président de la Société mathématique de Londres (Mathematical Society).

Groupes finis :              Royal Society et Mathematical Society :

Conjecture de Burnside (1902) :

Tout groupe simple, fini et non commutatif est d'ordre pair.

 Un groupe est dit fini s'il possède un nombre fini d'éléments. L'ordre d'un groupe fini est son nombre d'éléments. Un groupe est dit simple s'il ne contient aucun sous-groupe distingué autre que lui-même et le sous-groupe trivial réduit à l'élément neutre.

Cette conjecture fut prouvée en 1963 par l'américain Feit et l'anglais Thompson dans le Pacific Journal of Mathematics de l'université de Berkeley (Californie, USA) par l'étude d'une catégorie de groupes particuliers dit résolubles. Avec Burnside débute le difficile problème de la classification des groupes finis simples qui sera résolu 80 années plus tard après les travaux décisifs de Feit, Thompson et Gorenstein.

Mathieu, les groupes finis simples et leur classification :

Problème de Burnside :

Un groupe d'exposant fini, engendré par un système fini, est-il fini ?

Un groupe multiplicatif G d'élément neutre e est dit d'exposant fini n si :

xG,  x= e.

Une réponse positive fut apportée au cas n = 2 (cas relativement simple), au cas n = 3 (Burnside) et aux cas n = 4 et n = 6.

Ce problème relève de la théorie combinatoire des groupes ( groupes libres). Le mathématicien russe Piotr. S. Novikov (1901-1975), père du mathématicien Sergueï P. Novikov, médaille Fields 1970, a répondu négativement à cette question (1968) lorsque n est impair au moins égal à 4381.

Par exemple, le groupe multiplicatif {1,-1, i, -i} , où i désigne le nombre complexe de carré -1, est fini et d'exposant 4.

Groupes finis, monogènes, cycliques... :             Groupes libres :        

Problème de Burnside restreint (1902) :

Etant donnés les entiers k et n, existe-t-il un nombre fini de groupes finis
ayant k comme cardinal et n comme exposant ?

Ce problème a été positivement résolu récemment (1989) par Efim Zelmanov (médaille Fields 1994) en travaillant dans les algèbres de Lie, dans le cas où n est premier.


 Pour en savoir plus :

  1. Groupes finis par Fabrice Castel (univ. de Rennes 1) : http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/Groupes_finis.pdf
  2. La page d'Eric W. Weisstein sur le problème de Burnside et ses liens : http://mathworld.wolfram.com/BurnsideProblem.html
  3. Zelmanov et le problème de Burnside, sur le site de la SMF, par Olivier Gérard :
    http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/1994/62/smf_gazette_62_25-30.pdf


Sonia Kovalevskaïa  Lindemann
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