ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Une fonction irrationnelle pas vraiment simple      » trop dur ? essayez celle-ci

Soit f la fonction numérique définie pour tout x distinct de -1 par :

1. Donner l'expression de f(x), sans valeur absolue, en distinguant 2 cas et justifier brièvement que f est continue et dérivable sur chacun des intervalles ]-∞,-1[, ]-1,1[ et ]1,+∞[.

2. Calculer T(x) = f(x)/(x - 1). Quelle interprétation peut-on donner de T(x) ?

3. a - Quel est le signe de T(x) au voisinage de 1. Calculer les limites de T(x) lorsque x tend vers 1 par valeurs supérieures, puis par valeurs inférieures.

3. b - Justifier l'allure ci-dessous de la courbe (C) représentative de f au voisinage de x = 1 (point de rebroussement avec tangente "verticale").

4. a - On peut calculer, suite à 1°, les expressions de f '(x). Mais saviez-vous, sinon vérifiez-le, que :

Soit u la fonction définie par :

On a donc f(x) = x × u(x). 

Montrer que f' est du signe de u(2u + xu'), c'est à dire celui de :

En déduire le tableau de variation de f.

4. b - Justifier que (C) admet une asymptote oblique. On pourra se référer à cette page.