ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Croissance comparée des fonctions Logarithme, Puissance,
    Exponentielle et Factorielle

1. On dit que la puissance l'emporte sur le logarithme pour exprimer que x tendant vers l'infini positif, xa/(ln x)b a même limite que xa.

a/ Étudions tout d'abord le cas particulier fréquemment rencontré x ln(x)/x : on utilise une propriété selon laquelle x - ln x > 0 pour tout x > 0. On vérifie en effet facilement que la fonction f(x) = x - ln x, de fonction dérivée 1/2x - 1/x, représentée ci-dessous, passe par un minimum 2 - 2ln2 > 0 en x = 4.

Par suite, on peut écrire : 0 < ln(x)/x < x/x = 1/x. Ce qui implique ln(x)/x 0 pour x infini.

b/ Revenons au cas général en posant u = ln x. On a donc x = eu et u tend vers +. Le quotient étudié devient q = eua/ub.
Passons aux logarithmes :

ln(eua/ub) = ua - b.ln u = u[a - b.ln(u)/u].

Mais on a montré ci-dessus que ln(u)/u tend vers 0, donc ln q tend vers l'infini avec le signe de a. C'est dire que xa/(ln x)b tend vers l'infini si a > 0 et vers 0 si a < 0 : c'est la limite de xa.

2. On dit que l'exponentielle l'emporte sur la puissance (donc a fortiori sur le logarithme) pour exprimer que x tendant vers l'infini le rapport (ex)b/xa = ebx/xa a même limite que ebx pour toutes valeurs finies non nulles de a et b. Ce résultat est une conséquence du précédent. Passons aux logarithmes :

ln(ebx/xa) = bx - a.ln x= x[b - a.ln(x)/x]

cette dernière expression tend vers l'infini avec le signe de b. Par conséquent, "repassant" à l'exponentielle, on obtient + ou 0 suivant que b est positif ou négatif : c'est la limite de ebx.

3. On dit que la factorielle l'emporte sur la puissance pour exprimer que n tendant vers l'infini, le quotient xa/n! tend vers 0 quelle que soit la valeur a (le résultat restant vrai pour a = n).

Considérons la série de terme général un = xa/n! et appliquons le critère de règle de d'Alembert. Le rapport un+1/un est ici 1/(n + 1) < 1. La série des (un) est donc convergente : son terme général tend donc vers 0.

Si a = n : un+1/un = x/(n + 1) et la conclusion est inchangée. Ce cas correspond à la série :

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n! + ...           Euler et la fonction exponentielle

dont le cas particulier x = 1 fournit e :

Le cas plus général xa(n)/n! dépendra du rapport xa(n+1)/xa(n) borné ou non.


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