ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Croissance comparée des
fonctions Logarithme, Puissance,Exponentielle et Factorielle |
1. On dit que la puissance l'emporte sur le logarithme pour exprimer que x tendant vers l'infini positif, x
a/(ln x)b a même limite que xa.
a/ Étudions tout d'abord
le cas particulier fréquemment rencontré ln(x)/x : on utilise une propriété
selon laquelle 
x
- ln x > 0 pour tout x > 0.
On vérifie en effet facilement que la fonction f(x) =
x - ln x, de
fonction dérivée 1/2x
- 1/x passe par un minimum 2 - 2ln2 > 0 en x = 4. Par suite, on peut écrire : 0
< ln(x)/x < x/x =
1/x.
Ce qui implique ln(x)/x
0 pour x infini.
b/ Revenons au cas général en posant u = ln x. On a donc x = eu et u tend vers +
.
Le quotient étudié devient q = eua/ub.
Passons aux logarithmes :
ln(eua/ub) = ua - b.ln u = u[a - b.ln(u)/u].
Mais on a montré ci-dessus que ln(u)/u tend vers 0, donc ln q tend vers l'infini avec le signe de a. C'est dire que xa/(ln x)b tend vers l'infini si a > 0 et vers 0 si a < 0 : c'est la limite de xa.
2. On dit que l'exponentielle l'emporte sur la puissance (donc a fortiori sur le logarithme) pour exprimer que x tendant vers l'infini (ex)b/xa = ebx/xa a même limite que ebx pour toutes valeurs finies non nulles de a et b.
Ce résultat est une conséquence du précédent : Passons aux logarithmes :
ln(ebx/xa) = bx - a.ln x= x[b - a.ln(x)/x]
cette dernière expression tend vers l'infini avec le signe de b.
Par conséquent, "repassant" à l'exponentielle, on obtient +
ou 0 suivant que b est positif ou négatif : c'est la limite de ebx.
3. On dit que la factorielle l'emporte sur la puissance pour exprimer que n tendant vers l'infini, le quotient xa/n! tend vers 0 quelle que soit la valeur a (le résultat restant vrai pour a = n).
Considérons la série de terme général u
n = xa/n! et appliquons le critère de règle de d'Alembert. Le rapport un+1/un est ici 1/(n + 1) < 1. La série des (un) est donc convergente : son terme général tend donc vers 0.Si a = n : un+1/un = x/(n + 1) et la conclusion est inchangée. Ce cas correspond à la série :
ex = 1 + x + x2/2! +
x3/3! + ... + xn/n! + ...
Euler et la fonction exponentielle
dont le cas particulier x = 1 fournit e :
Le cas plus général xa(n)/n! dépendra du rapport xa(n+1)/xa(n) borné ou non.