ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 HIPPOCRATE de Chio
(Chios),
grec, vers -450/-? |
Armateur, il se serait rendu à Athènes afin de récupérer un de ses navires confisqué par la douane (les cités grecques souvent en conflit les unes entre les autres possédaient, déjà à cette époque, des institutions élaborées, dont des taxes douanières). Ayant rencontré les philosophes et mathématiciens de l'époque, il se serait alors converti aux mathématiques et à l'astronomie, s'accordant à la pensée des Pythagoriciens prônant la sphéricité de la Terre, à l'instar de son contemporain Théodore de Cyrène.
Hippocrate se serait intéressé à la duplication du cube, à la quadrature du cercle en introduisant ses lunules étudiées ci-dessous. Mais aucun écrit d'Hippocrate ne nous étant parvenu, ses travaux, rapportés succinctement par Proclus et Aristote, restent méconnus. On pourra consulter le Dictionnaire des Philosophes Antiques dont quelques pages sont consacrées à ce géomètre (» réf.1).
| Lunules d'Hippocrate : |
En mathématiques, une lunule désigne un domaine plan délimité par deux arcs de cercle de rayons distincts sous-tendus par une même corde. Les centres de ces cercles sont donc situés sur la médiatrice de cette corde : ci-contre les cercles (C) et (C') de centres respectifs O et O', situés situés sur la médiatrice de [AB], définissent deux lunules coloriées en orange et et en bleu.
Dans ses travaux tendant à réaliser la quadrature du cercle, Hippocrate est resté célèbre pour l'étude de l'aire de ses lunules (ou croissants) construites sur les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle : il a prouvé que la somme S des aires des lunules bleues ne dépend pas de π : avec les notations ci-dessous, on a S = bc/2. Le nombre S peut donc, dans certains cas être constructible, en particulier si les côtés b et c sont entiers ou rationnels ou des racines carrées de tels nombres.
Le calcul de S :
ABC désignant un triangle rectangle en A, on trace le demi-cercle de diamètre BC et les demi-cercles de diamètres AB et AC extérieurs au triangle. Depuis Archimède, on sait que l'aire d'un disque de rayon R est donnée par la formule A = πR2.
∗∗∗
On pose a = BC, b = CA et c = AB.
Prouver que S = bc/2.
Indications : l'aire d'un
disque de diamètre d est πd2/4. L'aire
coloriée en orange est (πa2/4)÷2 - bc/2...
La somme des aires
des lunules est égale à l'aire du triangle
rectangle sous-jacent.
➔ La quadrature du cercle est la construction, au sens euclidien, d'un carré de même aire qu'un cercle donné. On sait, depuis Wantzel (1837) qu'une telle construction est impossible. Si R est entier ou rationnel, l'aire A est irrationnelle et pire que cela, elle est transcendante !
➔ Pour en savoir plus :
Méton