ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 FUBINI Ghirin Guido,
italien, 1879-1943 |
Fils
d'un professeur de mathématiques à Venise, Guido Fubini étudia les mathématiques à l'École
normale supérieure de Pise (Pisa, Italie) où Dini et
Bianchi dirigèrent sa thèse Clifford's parallelism
in Elliptic Spaces (1900,
»
Clifford) portant sur les
espaces de nature elliptique de dimension
3.
Il enseignera à l'université de Pise, puis à Catane et Turin. En 1939, Fubini fuira l'Italie fasciste de Mussolini et s'établira aux Etats-Unis . Il fut professeur à Princeton, au célèbre Institute for Advanced Study (» Veblen), puis à l'université de New-York.
Ses travaux portent essentiellement sur la théorie de la mesure et le calcul intégral au sens de Lebesgue. Résultats concernant les intégrales multiples généralisées (une borne d'intégration au moins étant infini).
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Théorèmes de Fubini-Tonelli pour les intégrales doubles généralisées : |
Fubini et son compatriote Tonelli étudièrent à la même époque (1907-1909, indépendamment l'un de l'autre) les intégrales multiples dans le cadre de la théorie de la mesure (intégrale de Lebesgue). Le cas d'un domaine fini U = [a,b] × [c,d] ne pose pas de problème lorsque f est une fonction continue de (x,y) sur U. Le problème n'est pas simple dès qu'il s'agit d'une intégrale généralisée : une au moins des bornes est infinie.
! Contrairement au cas d'une seule variable pour lequel l'existence de l'intégrale de | f | entraîne celle de f avec réciproque fausse, une intégrale double généralisée est convergente si et seulement si elle est absolument convergente (convergence de la valeur absolue). Cette propriété étonnante conduit à des résultats très différents du cas d'une seule variable.
Théorème 1 :
U désigne un pavé de R2 défini par a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d, une borne au moins étant infini et f est une fonction de deux variables x et y. Si f est intégrable sur U, alors les intégrales simples (éventuellement généralisées) présentes dans les égalités ci-dessous existent et :
» On parle d'intégration répétée ou d'intégration sous le signe ∫ ou encore d'interversion de l'ordre d'intégration.
➔ Noter que dans une intégrale double (généralisée ou non), on peut appliquer les règles usuelles de changement de variables.
Rappel :
f est intégrable sur D si et seulement si | f | est intégrable sur D;
Si f(x,y) ≤ g (x,y) et si g est intégrable sur D, alors f est intégrable sur D;
Si f(x,y) ≥ g(x,y) et si g est non intégrable sur D, alors f est non intégrable sur D.
Fubini et Tonelli établirent également ce résultat fort intéressant que l'on peut ainsi énoncer :
Théorème 2 :
Si (x,y) →| f(x,y) | est intégrable sur D au moyen d'au moins une méthode d'intégration (changement de variable, intégration répétée, ...) alors (x,y) → f(x,y) est intégrable sur D.
! Dans le cas d'une intégrale double généralisée divergente d'une fonction non positive, le passage à la limite peut engendrer des résultats distincts selon la façon dont on la calcule ! Ces distorsions regrettables s'apparentent aux difficultés rencontrées dans les calculs de limite d'une fonction de plusieurs variables :
» Contre-exemple de Weierstrass
∗∗∗ Une belle série
d'exercices :
http://paralax.110mb.com/Telechargements/University/Analyse/Exercices_Reductiondesintegralesmultiples.pdf
Intégrale (divergente) de Cayley : » Intégrale double : » » Tonelli
➔ Pour en savoir plus :
Hahn