ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

FUBINI Ghirin Guido, italien, 1879-1943

Fils d'un professeur de mathématiques à Venise, Guido Fubini étudia les mathématiques à l'École normale supérieure de Pise (Pisa, Italie) où Dini et Bianchi dirigèrent sa thèse (1900) portant sur les espaces elliptiques.

Il enseignera à l'université de Pise, puis à Catane et Turin. En 1939, Fubini fuira l'Italie fasciste de Mussolini et s'établira aux Etats-Unis . Il fut professeur à Princeton, au célèbre Institute for Advanced Study ( Veblen), puis à l'université de New-York.

Ses travaux portent essentiellement sur la théorie de la mesure et le calcul intégral au sens de Lebesgue. Résultats concernant les intégrales multiples généralisées (une borne d'intégration au moins étant infini).

Théorème de Fubini-Tonelli pour les intégrales doubles généralisées :

Fubini et son compatriote Tonelli étudièrent à la même époque (1907-1909, indépendamment l'un de l'autre) les intégrales multiples dans le cadre de la théorie de la mesure (intégrale de Lebesgue). Le problème n'est pas simple dès qu'il s'agit d'une intégrale généralisée : une au moins des bornes est infinie.

Contrairement au cas d'une seule variable pour lequel l'existence de l'intégrale de | f | entraîne celle de f avec réciproque fausse, une intégrale double généralisée est convergente si et seulement si elle est absolument convergente (convergence de la valeur absolue). Cette propriété étonnante conduit à des résultats très différents du cas d'une seule variable.

Dans le cas particulier de R2 :

U désigne un pavé de R2 défini par a x b , c y d, une borne au moins étant infini;  f est une fonction des deux variables  x et y. Si f est intégrable sur U, alors les intégrales simples (éventuellement généralisées) présentes dans les égalités ci-dessous existent et :

On parle d'intégration répétée ou d'intégration sous le signe ou encore d'interversion de l'ordre d'intégration.

Le cas d'un domaine fini U = [a,b] x [c,d] ne pose pas de problème lorsque f est une fonction continue de (x,y) sur U. Notons aussi que dans une intégrale double (généralisée ou non), on peut appliquer les règles usuelles de changement de variables.

Rappel :

Fubini et Tonelli établirent également ce résultat fort intéressant que l'on peut ainsi énoncer :

Si (x,y)| f(x,y) | est intégrable sur D au moyen d'au moins une méthode d'intégration (changement de variable, intégration répétée, ...) alors (x,y)f(x,y) est intégrable sur D.

Dans le cas d'une intégrale double généralisée divergente d'une fonction non positive, le passage à la limite peut engendrer des résultats distincts selon la façon dont on la calcule ! Ces distorsions regrettables s'apparentent aux difficultés rencontrées dans les calculs de limite d'une fonction de plusieurs variables : follow this lien...

Une belle série d'exercices :
http://paralax.110mb.com/Telechargements/University/Analyse/Exercices_Reductiondesintegralesmultiples.pdf

Intégrale (divergente) de Cayley :     Intégrale double :  Tonelli

Pour en savoir plus :


Carmichael  Hahn
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