ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Courbe de Viviani, fenêtre de Viviani, voûte quarrable

 ➔  Étant donné un cercle de rayon r, on ne peut pas construire, à la règle et au compas (au sens d'Euclide), un carré de côté c tel que c² = πr² (c'est le célèbre problème de la quadrature du cercle). Dans le cas contraire nous dirons que le domaine étudié est quarrable : son aire peut s'écrire a², aire d'un carré de côté constructible a.

On considère une voûte hémisphérique et plus particulièrement le quart de cette voûte. Comment y découper une fenêtre de sorte que le reste de la surface soit « quarrable » ? Wallis, grand spécialiste du calcul intégral alors en plein développement, donnera une solution de ce problème :

Si (h) désigne le quart d'hémisphère de rayon r, la fenêtre cherchée est une courbe gauche, intersection de (h) avec le cylindre droit de rayon r/2, tangent à (h) :

L'aire de la "fenêtre" se calcule en utilisant des résultats relatifs aux surfaces de l'espace (O,x,y,z) se projetant en une courbe fermée dans le plan (O,x,y). Le calcul (intégrale double) conduit à r²(π - 2). Or l'aire de (h) est 4πr²/4 = πr². Ainsi le reste de la surface est quarrable et sa mesure est 2r². On obtient un résultat semblable pour le volume.

 Calculs de l'aire et du volume de la fenêtre de Viviani : »

• sur (O,x,y) : suivant le cercle d'équation (x - r/2)² + y² = (r/2)² soit : x² + y² = rx.
• sur (0,y,z) suivant la courbe d'équation z⁴ = r²(z² - y²). En posant z = ρcosθ et y = ρsinθ, on peut la paramétrer en coordonnées polaires sous la forme :

ρ² = -4cos2θ/sin⁴θ

Elle est tracée ci-dessous pour r = 2 (y est porté en abscisse et z en ordonnée),  :

Elle ressemble à une lemniscate de Bernoulli mais ce n'en est pas une car s'il en était ainsi, les foyers de la lemniscate, en tant qu'ovale de Cassini, seraient obtenus pour l'élongation maximale en y soit en y = 1, donc pour z = √2 = c. La lemniscate aurait alors pour équation polaire

ρ² = 2c²cos2θ = 4cos2θ

 ➔   On démontre par ailleurs que le volume découpé dans (h) est égal à 2r³/9 : on peut donc dire que ce volume est cubable : on peut construire le côté du cube de même volume.