ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Courbe de Viviani, fenêtre de Viviani, voûte quarrable

Étant donné un cercle de rayon r, on ne peut pas construire, à la règle et au compas (au sens d'Euclide), un carré de côté c tel que c2 = πr2 (c'est le célèbre problème de la quadrature du cercle). Dans le cas contraire nous dirons que le domaine étudié est quarrable : son aire peut s'écrire a2, aire d'un carré de côté constructible a.

On considère une voûte hémisphérique et plus particulièrement le quart de cette voûte. Comment y découper une fenêtre de sorte que le reste de la surface soit « quarrable » ? Wallis, grand spécialiste du calcul intégral alors en plein développement, donnera une solution de ce problème :

Si (h) désigne le quart d'hémisphère de rayon r, la fenêtre cherchée est une courbe gauche, intersection de (h) avec le cylindre droit de rayon r/2, tangent à (h) :

L'aire de la "fenêtre" se calcule en utilisant des résultats relatifs aux surfaces de l'espace (O,x,y,z) se projetant en une courbe fermée dans le plan (O,x,y). Le calcul (intégrale double) conduit à r2 - 2). Or l'aire de (h) est 4πr2/4 = πr2. Ainsi le reste de la surface est quarrable et sa mesure est 2r2. On obtient un résultat semblable pour le volume.

 Calculs de l'aire et du volume de la fenêtre de Viviani :

On peut considérer la courbe totale obtenue par intersection du cylindre et de la sphère entière. La sphère a pour équation :

x2 + y2 + z2 = r2

celle du cylindre est (x - r/2)2 + y2 = (r/2)2, z R , soit :

x2 + y2 = rx, z R.

La courbe se projette :

Elle est tracée ci-dessous pour r = 2 (y est porté en abscisse et z en ordonnée), ρ2 = -4cos2θ/sin4θ :

Elle ressemble à une lemniscate de Bernoulli mais ce n'en est pas une car s'il en était ainsi, les foyers de la lemniscate (en tant qu'ovale de Cassini) seraient obtenus pour l'élongation maximale en y soit en y = 1, donc pour z = 2 = c. La lemniscate aurait alors pour équation polaire

ρ2 = 2c2cos2θ = 4cos2θ

  sur (0,x,z) suivant l'arc de parabole z2 = r(r - x), par élimination de y.

 On démontre par ailleurs que le volume découpé dans (h) est égal à 2r3/9 : on peut donc dire que ce volume est cubable : on peut construire le côté du cube de même volume.

Coordonnées sphériques et équation de la fenêtre de Viviani :

   Wantzel et les nombres constructibles , Notions sur les courbes gauches


Courbe de Viviani empruntée à Roger Assouly, sur son site Courbes et surfaces mathématiques
avec son aimable autorisation.


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